求椭圆=1(a>b>0)的内接矩形面积的最大值.
如图,四棱锥 P- ABCD的底面为正方形, PD⊥底面 ABCD.设平面 PAD与平面 PBC的交线为 l.
(1)证明: l⊥平面 PDC;
(2)已知 PD= AD=1, Q为 l上的点,求 PB与平面 QCD所成角的正弦值的最大值.
为加强环境保护,治理空气污染,环境监测部门对某市空气质量进行调研,随机抽查了 100 天空气中的 PM 2 . 5 和 S O 2 浓度(单位: μ g/ m 3 ),得下表:
S O 2
PM 2 . 5
[ 0 , 50 ]
( 50 , 150 ]
( 150 , 475 ]
[ 0 , 35 ]
32
18
4
( 35 , 75 ]
6
8
12
( 75 , 115 ]
3
7
10
(1)估计事件"该市一天空气中 PM 2 . 5 浓度不超过 75 ,且 S O 2 浓度不超过 150 "的概率;
(2)根据所给数据,完成下面的 2 × 2 列联表:
[ 0 , 150 ]
[ 0 , 75 ]
(3)根据(2)中的列联表,判断是否有 99 % 的把握认为该市一天空气中 PM 2 . 5 浓度与 S O 2 浓度有关?
附: K 2 = n ( ad - bc ) 2 ( a + b ) ( c + d ) ( a + c ) ( b + d ) ,
P ( K 2 ≥ k )
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
已知公比大于 1 的等比数列 { a n } 满足 a 2 + a 4 = 20 , a 3 = 8 .
(1)求 { a n } 的通项公式;
(2)求 a 1 a 2 - a 2 a 3 + … + ( - 1 ) n - 1 a n a n + 1 .
在① ac = 3 ,② c sin A = 3 ,③ c = 3 b 这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求 c 的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.
问题:是否存在 △ ABC ,它的内角的对边分别为 a , b , c ,且 sin A = 3 sin B , C = π 6 ,________?
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
已知椭圆C: x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 ( a > b > 0 ) 的离心率为 2 2 ,且过点A(2,1).
(1)求C的方程:
(2)点M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D为垂足.证明:存在定点Q,使得|DQ|为定值.