已知函数的定义域为R，对任意的都满足，当时，.（1）判断并证

已知函数的定义域为R，对任意的都满足，当时，.
（1）判断并证明的单调性和奇偶性；
（2）是否存在这样的实数m，当时，使不等式

对所有恒成立，如存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由.

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设a，b，c $\in$ R，a+b+c=0，abc=1．

（1）证明：ab+bc+ca<0；

（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥ $\sqrt[3]{4}$ ．

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在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 $\{\begin{matrix} x = 2 - t - t^{2} \\ y = 2 - 3 t + t^{2} \end{matrix}$ （t为参数且t≠1），C与坐标轴交于A、B两点．

（1）求 $| AB |$ ；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程．

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设函数 $f (x) = x^{3} + bx + c$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点( $\frac{1}{2}$ ，f( $\frac{1}{2}$ ))处的切线与y轴垂直．

（1）求b．

（2）若 $f (x)$ 有一个绝对值不大于1的零点，证明： $f (x)$ 所有零点的绝对值都不大于1．

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已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{m^{2}} = 1 (0 < m < 5)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ ， $A$ ， $B$ 分别为 $C$ 的左、右顶点．

（1）求 $C$ 的方程；

（2）若点 $P$ 在 $C$ 上，点 $Q$ 在直线 $x = 6$ 上，且 $| BP | = | BQ |$ ， $BP ⊥ BQ$ ，求 $△ APQ$ 的面积．

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如图，在长方体 $ABCD - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E, F$ 分别在棱 $D D_{1}, B B_{1}$ 上，且 $2 DE = E D_{1}$ ， $BF = 2 F B_{1}$ ．

（1）证明：点 $C_{1}$ 在平面 $AEF$ 内；

（2）若 $AB = 2$ ， $AD = 1$ ，，求二面角 $A - EF - A_{1}$ 的正弦值．

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