社区文具商场的某种毛笔每支售价25元,书法练习本每本售价5元.该商场为促销制定了甲、乙两种优惠方案:方案甲:买1支毛笔就赠送1本书法练习本;方案乙:按购买金额打9折付款.某校书法兴趣小组打算购买这种毛笔10支,这种书法练习本()本.(1)分别写出按甲、乙两种优惠方案实际付款金额甲(元)、乙(元)与之间的函数关系式;(2)如果该商场即允许只选择一种优惠方案购买,也允许同时用两种优惠方案购买,请你就购买这种毛笔10支和这种书法练习本60本设计一种最省钱的购买方案.
(本小题满分12分)已知三棱锥中,侧棱垂直于底面,点是的中点. (1)求证:平面; (2)若底面为边长为的正三角形,,求三棱锥的体积.
(本小题满分12分)在中,角的对边分别为,已知. (Ⅰ)求角的大小; (Ⅱ)若,求△的面积.
(本小题满分12分)设函数,其中为自然对数的底数. (Ⅰ) 时,求曲线在点处的切线方程; (Ⅱ)函数是的导函数,求函数在区间上的最小值.
(本小题满分12分)已知椭圆C:过点,且椭圆C的离心率为. (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)若动点P在直线上,过P作直线交椭圆C于M,N两点,且P为线段MN中点,再过P作直线.证明:直线恒过定点,并求出该定点的坐标.
(本小题满分12分)为了研究某种细菌在特定环境下,随时间变化繁殖情况,得如下实验数据:
(Ⅰ)求y关于t的线性回归方程; (Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,预测时,细菌繁殖个数. 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:,.