在育民中学举行的电脑知识竞赛中,将九年级两个班参赛的学生成绩(得分均为整数)进行整理后分成五组,绘制如图所示的频率分布直方图.已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30,0.15,0.10,0.05,第二小组的频数是40.(1)求第二小组的频率,并补全这个频率分布直方图;(2)求这两个班参赛的学生人数是多少?(3)这两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第几小组内?(不必说明理由)
(本小题满分12分)设,方程有唯一解,已知,且. (Ⅰ)求证:数列为等差数列,并求数列的通项公式; (Ⅱ)若,且,求数列的前项和.
(本小题满分12分)某工厂有甲、乙两个车间,每个车间各有编号为1、2、3、4、5的5名技工.在某天内每名技工加工的合格零件的个数如下表:
(Ⅰ)分别求出甲、乙两个车间技工在该天内所加工的合格零件的平均数及方差,并由此比较两个车间技工的技术水平; (Ⅱ)质检部门从甲、乙两个车间中各随机抽取名技工,对其加工的零件进行检测,若两人完成合格零件个数之和不小于12个,则称该工厂“质量合格”,求该工厂“质量合格”的概率.
(本小题满分12分)已知满足. (Ⅰ)将表示为的函数,并求出的单调递增区间; (Ⅱ)已知的三个内角、、的对边分别为、、,若,且,求的面积的最大值.
(本小题14分)已知函数. (1)若在上的最大值为,求实数的值; (2)若对任意,都有恒成立,求实数的取值范围; (3)在(1)的条件下,设,对任意给定的正实数,曲线上是否存在两点、,使得是以(为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在轴上?请说明理由。
(本小题13分)已知离心率为的椭圆经过点. (1)求椭圆的方程; (2)过左焦点且不与轴垂直的直线交椭圆于、两点,若(为坐标原点),求直线的方程.