已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点,且两条渐近线与以点A (0,)为圆心,1为半径的圆相切,又知C的一个焦点与A关于y = x对称.(1)求双曲线C的方程;(2)若Q是双曲线线C上的任一点,F1,F2为双曲线C的左、右两个焦点,从F1引∠F1QF2的平分线的垂线,垂足为N,试求点N的轨迹方程;(3)设直线y =" mx" + 1与双曲线C的左支交于A、B两点,另一直线l经过M (–2,0)及AB的中点,求直线l在y轴上的截距b的取值范围.
定义在上的函数满足,当时单调递增若,且,判断的符号
(本小题满分12分) 已知函数在上是增函数,在上为减函数.(Ⅰ)求的表达式;(Ⅱ)若当时,不等式恒成立,求实数的值;(Ⅲ)是否存在实数使得关于的方程在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根,若存在,求实数的取值范围.
(本小题满分12分) 已知双曲线C:的右焦点为,过点作直线交双曲线C的右支于两点,试确定的范围,使以为直径的圆过双曲线的中心.
(本小题满分12分)学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项,已知会唱歌的有2人,会跳舞的有5人,现从中任选2人.设为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数,且=.(Ⅰ)求文娱队的人数;(Ⅱ)写出的概率分布列并计算.
(本小题满分12分) 一几何体的三视图如图所示,,A1A=,AB=,AC=2,A1C1=1,在线段上且=.(I)证明:平面⊥平面;(II)求二面角的余弦值.