已知抛物线y22px(p＞0),过动点M(a,0)且斜率为1

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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已知抛物线y²=2px(p＞0),过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，且|AB|≤2p.
(1)求a的取值范围.
(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值.

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证明以下命题：
（1）对任一正整数 $a$ ，都存在正整数 $b, c (b < c)$ ，使得 $a^{2}, b^{2}, c^{2}$ 成等差数列；
（2）存在无穷多个互不相似的三角形 $△_{n}$ ,其边长 $a_{n}, b_{n}, c_{n}$ 为正整数且 ${a_{n}}^{2}, {b_{n}}^{2}, {c_{n}}^{2}$ 成等差数列.

题型：未知
难度：未知

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设椭圆 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，抛物线 $C_{2}$ ： $x^{2} + b y = b^{2}$ .

(1) 若 $C_{2}$ 经过 $C_{1}$ 的两个焦点，求 $C_{1}$ 的离心率；
(2) 设 $A (0, b), Q (3 \sqrt{3}, \frac{5}{4} b)$ ，又 $M, N$ 为 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 不在 $y$ 轴上的两个交点，若 $△ A M N$ 的垂心为 $B (0, \frac{3}{4} b)$ ，且 $△ Q M N$ 的重心在 $C_{2}$ 上，求椭圆 $C_{1}$ 和抛物线 $C_{2}$ 的方程．

题型：未知
难度：未知

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如图， $△ B C D$ 与 $△ M C D$ 都是边长为2的正三角形，
平面 $M C D ⊥$ 平面 $B C D$ ， $A B ⊥$ 平面 $B C D$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ .
（1）求点 $A$ 到平面 $M B C$ 的距离；
（2）求平面 $A C M$ 与平面 $B C D$ 所成二面角的正弦值.

题型：未知
难度：未知

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设函数 $f (x) = \ln x + \ln (2 - x) + a x, (a > 0)$ ．
（1）当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；
（2）若 $f (x)$ 在 $(0, 1]$ 上的最大值为 $\frac{1}{2}$ ，求 $a$ 的值．

题型：未知
难度：未知

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某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一个智能门，首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令 $ξ$ 表示走出迷宫所需的时间．
(1)求 $ξ$ 的分布列；
(2)求 $ξ$ 的数学期望．

题型：未知
难度：未知

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