（本小题满分12分）20090327已知点A是抛物线y2＝2

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度容易
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（本小题满分12分）

20090327

已知点A是抛物线y²＝2px（p>0）上一点，F为抛物线的焦点，准线l与x轴交于点K，已知｜AK｜＝｜AF｜，三角形AFK的面积等于8．

（1）求p的值；
（2）过该抛物线的焦点作两条互相垂直的直线l₁，l₂，与抛物线相交得两条弦，两条弦
的中点分别为G，H.求｜GH｜的最小值．

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设函数 $f (x)$ =[ $a x^{2} - (4 a + 1) x + 4 a + 3$ ] $e^{x}$ ．

（1）若曲线在点（1， $f (1)$ ）处的切线与 $x$ 轴平行，求 $a$ ；

（2）若 $f (x)$ 在 $x = 2$ 处取得极小值，求 $a$ 的取值范围．

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电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：

电影类型	第一类	第二类	第三类	第四类	第五类	第六类
电影部数	140	50	300	200	800	510
好评率	0.4	0.2	0.15	0.25	0.2	0.1

好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．

假设所有电影是否获得好评相互独立．

（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；

（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；

（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用" $ξ_{k} = 1$ "表示第 k类电影得到人们喜欢，" $ξ_{k} = 0$ "表示第 k类电影没有得到人们喜欢（ k=1，2，3，4，5，6）．写出方差 $D ξ_{1}$ ， $D ξ_{2}$ ， $D ξ_{3}$ ， $D ξ_{4}$ ， $D ξ_{5}$ ， $D ξ_{6}$ 的大小关系．

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如图，在三棱柱 ABC− $A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $C C_{1} ⊥$ 平面 ABC， D， E， F， G分别为 $A A_{1}$ ， AC， $A_{1} C_{1}$ ，的中点， AB=BC= $\sqrt{5}$ ， AC= $A A_{1}$ =2．

（1）求证： AC⊥平面 BEF；

（2）求二面角 B−CD− C ₁的余弦值；

（3）证明：直线 FG与平面 BCD相交．

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在△ABC中，a=7，b=8，cosB= - $\frac{1}{7}$ ．

(1)求∠A；

(2)求AC边上的高．

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已知函数 $f (x) = a^{x}$ ， $g (x) = lo g_{a} x$ ，其中 a>1.

（I）求函数 $h (x) = f (x) - x ln a$ 的单调区间；

（II）若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x_{1}, f (x_{1}))$ 处的切线与曲线 $y = g (x)$ 在点 $(x_{2}, g (x_{2}))$ 处的切线平行，证明 $x_{1} + g (x_{2}) = - \frac{2 lnln a}{ln a}$ ；

（III）证明当 $a \geq e^{\frac{1}{e}}$ 时，存在直线 l，使 l是曲线 $y = f (x)$ 的切线，也是曲线 $y = g (x)$ 的切线.

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