下表是某省的20个县城2006年的一份统计资料，其中表示第i

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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下表是某省的20个县城2006年的一份统计资料，其中表示第i个县城在2006年建成的新住宅的面积（单位：万平方米），表示第i个县城在2006年的家具销售额（单位：万元）

县城编号	x_i	y_i	县城编号	x_i	y_i
1	121	360	11	387	602
2	118	260	12	270	540
3	271	440	13	218	414
4	190	400	14	342	590
5	75	360	15	173	492
6	263	500	16	370	660
7	334	580	17	170	360
8	368	560	18	205	410
9	305	505	19	339	680
10	210	480	20	283	594

试求对的回归方程.

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已知函数 $f （ x) = a e^{2 x} + (a ﹣ 2) e^{x} ﹣ x$ .

（1）讨论 $f (x)$ 的单调性；

（2）若 $f (x)$ 有两个零点，求 a的取值范围.

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已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 （ a > b > 0 ）$ ，四点P ₁（1,1），P ₂（0,1），P ₃ $（ - 1 ， \frac{\sqrt{3}}{2} ）$ ，P ₄ $（ 1 ， \frac{\sqrt{3}}{2} ）$ 中恰有三点在椭圆C上.

（1）求 C的方程；

（2）设直线 l不经过 P ₂点且与 C相交于 A， B两点.若直线 P ₂ A与直线 P ₂ B的斜率的和为-1，证明： l过定点.

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为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ．

（1）假设生产状态正常，记 X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在 $(μ - 3 σ, μ + 3 σ)$ 之外的零件数，求 $P (X \geq 1)$ 及 $X$ 的数学期望；

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 $(μ - 3 σ, μ + 3 σ)$ 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（ ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；

（ ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9.95	10.12	9.96	9.96	10.01	9.92	9.98	10.04
10.26	9.91	10.13	10.02	9.22	10.04	10.05	9.95

经计算得 $\bar{x} = \frac{1}{16} \sum_{i = 1}^{16} x_{i} = 9.97$ ， $s = \sqrt{\frac{1}{16} \sum_{i = 1}^{16} (x_{i} - \bar{x})^{2}} = \sqrt{\frac{1}{16} (\sum_{i = 1}^{16} x_{i}^{2} - 16 {\bar{x}}^{2})^{2}} \approx 0.212$ ，其中 $x_{i}$ 为抽取的第 $i$ 个零件的尺寸， $i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, 16$ ．

用样本平均数 $\bar{x}$ 作为 $μ$ 的估计值 $\hat{μ}$ ，用样本标准差 $s$ 作为 $σ$ 的估计值 $\hat{σ}$ ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除 $(\hat{μ} - 3 \hat{σ}, \hat{μ} + 3 \hat{σ})$ 之外的数据，用剩下的数据估计 $μ$ 和 $σ$ （精确到0.01）．

附：若随机变量 $Z$ 服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - 3 σ < Z < μ + 3 σ) = 0.997 4$ ，

$0.997 4^{16} = 0.959 2$ ， $\sqrt{0.008} \approx 0.09$ ．

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如图，在四棱锥 $P - ABCD$ 中， $AB / / CD$ ，且 $∠ BAP = ∠ CDP = 9 0^{\circ}$ .

（1）证明：平面 $PAB ⊥$ 平面 $PAD$ ；

（2）若 $PA = PD = AB = DC$ ， $∠ APD = 9 0^{\circ}$ ，求二面角 $A - PB - C$ 的余弦值.

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△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $△ ABC$ 的面积为 $\frac{a^{2}}{3 \sin A}$

（1）求 $sinBsinC$ ;

（2）若 $6 cosBcosC = 1$ ， $a = 3$ ，求 $△ ABC$ 的周长.

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