在△ABC中,求证:
如图,曲线 G 的方程为 y 2 = 2 x ( y ≥ 0 ) .以原点为圆心,以 t ( t > 0 ) 为半径的圆分别与曲线 G 和 y 轴的正半轴相交于点 A 与点 B .直线 A B 与 x 轴相交于点 C .
(Ⅰ)求点 A 的横坐标 a 与点 C 的横坐标 c 的关系式; (Ⅱ)设曲线 G 上点 D 的横坐标为 a + 2 ,求证:直线 C D 的斜率为定值.
设 a ≥ 0 , f x = x - 1 - ln 2 x + 2 a ln x x > 0 .
(Ⅰ)令 F x = x f ` x ,讨论 F x 在 0 , + ∞ 内的单调性并求极值; (Ⅱ)求证:当 x > 1 时,恒有 x > ln 2 x - 2 a ln x + 1 .
如图,在六面体 A B C D - A 1 B 1 C 1 D 1 中,四边形 A B C D 是边长为2的正方形,四边形 A 1 B 1 C 1 D 1 是边长为1的正方形, D D 1 ⊥ 平面 A 1 B 1 C 1 D 1 , D D 1 ⊥ 平面 A B C D , D D 1 = 2 .
(Ⅰ)求证: A 1 C 1 与 A C 共面, B 1 D 1 与 B D 共面; (Ⅱ)求证: 平面 A 1 A C C 1 ⊥ 平面 B 1 B D D 1 ; (Ⅲ)求二面角 A - B B 1 - C 的大小(用反三角函数值表示).
已知0<a<的最小正周期, 向量 a = ( tan ( α + β / 4 ) , - 1 ) , 向量 b = ( cos α , 2 ) , 且向量 a × 向量 b = m , 求 2 cos 2 α + sin 2 α + β cos α - sin α .
已知函数 f ( x ) = x 2 t - 2 t ( x 2 + x ) + x 2 + 2 t 2 + 1 , g ( x ) = 1 2 f ( x ) . (I)证明:当 t < 2 2 时, g ( x ) 在 R 上是增函数; (II)对于给定的闭区间 [ a , b ] ,试说明存在实数 k ,当 t > k 时, g ( x ) 在闭区间 [ a , b ] 上是减函数; (III)证明: f ( x ) ≥ 3 2 .