在直角坐标系 $xOy$中，点 $P$到两点 $\left(0,-\sqrt{3}\right),\left(0,\sqrt{3}\right)$的距离之和等于4，设点 $P$的轨迹为 $C$，直线 $y=kx+1$与 $C$交于 $A,B$两点．
（Ⅰ）写出 $C$的方程；
（Ⅱ）若 $\stackrel{\rightharpoonup }{OA}\perp \stackrel{\rightharpoonup }{OB}$，求 $k$的值；
（Ⅲ）若点 $A$在第一象限，证明：当 $k>0$时，恒有 $\left|\stackrel{\rightharpoonup }{OA}\right|>\left|\stackrel{\rightharpoonup }{OB}\right|$．