四川省成都市高三第二次诊断性考试数学理卷

已知为虚数单位，则复数

A．

B．

C．

D．

已知向量，，若，则实数的值为

A．

B．

C．

D．

在等比数列中，若，则

A．

B．

C．

D．

若，则的值为

A．

B．

C．

D．

在中，角、、所对边的长分别为、、．若，则的值为

A．

B．

C．

D．

设集合，，记，则集合中元素的个数有

某出租车公司计划用450万元购买A型和B型两款汽车投入营运，购买总量不超过50辆，其中购买A型汽车需13万元／辆，购买B型汽车需8万元／辆．假设公司第一年A型汽车的纯利润为2万元／辆，B型汽车的纯利润为1.5万元／辆，为使该公司第一年纯利润最大，则需安排购买

过点作直线与圆交于、两点，若，则圆心到直线的距离等于

已知，则的值为

某校高三理科实验班有5名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试，每人限报一所高校．若这三所高校中每个学校都至少有1名同学报考，那么这5名同学不同的报考方法种数共有

将函数的图象按向量平移，得到函数的图象．若函数在点处的切线恰好经过坐标原点，则下列结论正确的是

A．

B．

C．

D．

如图，在半径为l的球中．、是两条互相垂直的直径，半径平面．点、分别为大圆上的劣弧、的中点，给出下列结论：
①向量在向量方向上的投影恰为；
②、两点的球面距离为；
③球面上到、两点等距离的点的轨迹是两个点；

④若点为大圆上的劣弧的中点，则过点且与直线、成等角的直线只有三条，其中正确的是

设，则______________________．

在底面边长为2的正四棱锥中，若侧棱与底面所成的角大小为，则此正四棱锥的斜高长为______________________．

已知椭圆的右焦点为，右准线与轴交于点，点在上，若(为坐标原点)的重心恰好在椭圆上，则______________________．

已知定义在上的函数．给出下列结论：
①函数的值域为；
②关于的方程有个不相等的实数根；
③当时，函数的图象与轴围成的图形面积为，则；
④存在，使得不等式成立，
其中你认为正确的所有结论的序号为______________________．

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
(17)（本小题满分12分）
已知函数．
(I)求函数的最小正周期；
(Ⅱ)当时，函数的最小值为，求实数的值．

（本小题满分12分）
如图，边长为1的正三角形所在平面与直角梯形所在平面垂直，且，，，，、分别是线段、的中点．

(I)求证：平面平面；
(Ⅱ)求二面角的大小．

（本小题满分12分）
某电视台拟举行“团队共享”冲关比赛，其规则如下：比赛共设有“常识关”和“创新关”两关，每个团队共两人，每人各冲一关，“常识关”中有2道不同必答题，“创新关”中有3道不同必答题；如果“常识关”中的2道题都答对，则冲“常识关”成功且该团队获得单项奖励900元，否则无奖励；如果“创新关”中的3道题至少有2道题答对，则冲“创新关”成功且该团队获得单项奖励1800元，否则无奖励．现某团队中甲冲击“常识关”，乙冲击“创新关”，已知甲回答“常识关”中每道题正确的概率都为，乙回答“创新关”中每道题正确的概率都为，且两关之间互不影响，每道题回答正确与否相互独立．
(I)求此冲关团队在这5道必答题中只有2道回答正确且没有获得任何奖励的概率；
(Ⅱ)记此冲关团队获得的奖励总金额为随机变量，求的分布列和数学期望．

（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离为，到轴的距离为，且．
(I)求点的轨迹的方程；
(Ⅱ)若、是(I)中上的两点，，过、分别作直线的垂线，垂足分别为、．证明：直线过定点，且为定值．

（本小题满分12分）
记，其中，如，令．
(I)求的值；
(Ⅱ)求的表达式；
(Ⅲ)已知数列满足，设数列的前项和为，若对一切，不等式恒成立，求实数的最大值．

（（本小题满分14分）
已知函数为实常数）．
(I)当时，求函数在上的最小值；
(Ⅱ)若方程（其中）在区间上有解，求实数的取值范围；
(Ⅲ)证明：（参考数据：）