2019年江苏省常州市中考数学试卷

$-3$的相反数是 $($　　 $)$

A． $\frac{1}{3}$B． $-\frac{1}{3}$C．3D． $-3$

若代数式 $\frac{x+1}{x-3}$有意义，则实数 $x$的取值范围是 $($　　 $)$

A． $x=-1$B． $x=3$C． $x\ne -1$D． $x\ne 3$

如图是某几何体的三视图，该几何体是 $($　　 $)$

A．圆柱B．正方体C．圆锥D．球

如图，在线段 $\mathit{PA}$、 $\mathit{PB}$、 $\mathit{PC}$、 $\mathit{PD}$中，长度最小的是 $($　　 $)$

A．线段 $\mathit{PA}$B．线段 $\mathit{PB}$C．线段 $\mathit{PC}$D．线段 $\mathit{PD}$

若 $\mathit{\Delta ABC}~$△ $A\text{'}{B}^{\text{'}}C\text{'}$，相似比为 $1:2$，则 $\mathit{\Delta ABC}$与△ $A^{\text{'}}B\text{'}{C}^{\text{'}}$的周长的比为 $($　　 $)$

A． $2:1$B． $1:2$C． $4:1$D． $1:4$

下列各数中与 $2+\sqrt{3}$的积是有理数的是 $($　　 $)$

A． $2+\sqrt{3}$B．2C． $\sqrt{3}$D． $2-\sqrt{3}$

判断命题“如果 $n<1$，那么 $n^2-1<0$”是假命题，只需举出一个反例．反例中的 $n$可以为 $($　　 $)$

A． $-2$B． $-\frac{1}{2}$C．0D． $\frac{1}{2}$

随着时代的进步，人们对 $\mathit{PM}2.5$（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切．某市一天中 $\mathit{PM}2.5$的值 $y_1(\mathit{ug}/m^3)$随时间 $t\left(h\right)$的变化如图所示，设 $y_2$表示0时到 $t$时 $\mathit{PM}2.5$的值的极差（即0时到 $t$时 $\mathit{PM}2.5$的最大值与最小值的差），则 $y_2$与 $t$的函数关系大致是 $($　　 $)$

A．B．

C．D．

计算： $a^3÷a=$　     　．

4是　     　的算术平方根．

分解因式： $a{x}^2-4a=$　             　．

如果 $\angle \alpha =35°$，那么 $\angle \alpha$的余角等于　      　 $°$．

如果 $a-b-2=0$，那么代数式 $1+2a-2b$的值是　   　．

平面直角坐标系中，点 $P(-3,4)$到原点的距离是　    　．

若 $\left\{\begin{array}{c}x=1,\\ y=2\end{array}\right.$是关于 $x$、 $y$的二元一次方程 $\mathit{ax}+y=3$的解，则 $a=$　     　．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $C$、 $D$是 $\odot O$上的两点， $\angle \mathit{AOC}=120°$，则 $\angle \mathit{CDB}=$　     　 $°$．

如图，半径为 $\sqrt{3}$的 $\odot O$与边长为8的等边三角形 $\mathit{ABC}$的两边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{BC}$都相切，连接 $\mathit{OC}$，则 $\tan \angle \mathit{OCB}=$　    　．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}=3\mathit{AB}=3\sqrt{10}$，点 $P$是 $\mathit{AD}$的中点，点 $E$在 $\mathit{BC}$上， $\mathit{CE}=2\mathit{BE}$，点 $M$、 $N$在线段 $\mathit{BD}$上．若 $\mathit{\Delta PMN}$是等腰三角形且底角与 $\angle \mathit{DEC}$相等，则 $\mathit{MN}=$          　．

计算：

（1） ${\pi }^0+{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-1}-{\left(\sqrt{3}\right)}^2$；

（2） $(x-1)(x+1)-x(x-1)$．

解不等式组 $\left\{\begin{array}{c}x+1>0,\\ 3x-8⩽-x,\end{array}\right.$并把解集在数轴上表示出来．

如图，把平行四边形纸片 $\mathit{ABCD}$沿 $\mathit{BD}$折叠，点 $C$落在点 $C\text{'}$处， $\mathit{BC}\text{'}$与 $\mathit{AD}$相交于点 $E$．

（1）连接 $\mathit{AC}\text{'}$，则 $\mathit{AC}\text{'}$与 $\mathit{BD}$的位置关系是　          　；

（2） $\mathit{EB}$与 $\mathit{ED}$相等吗？证明你的结论．

在“慈善一日捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校部分学生的捐款数（单位：元），并绘制成下面的统计图．

（1）本次调查的样本容量是　    　，这组数据的众数为　   　元；

（2）求这组数据的平均数；

（3）该校共有600名学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数．

将图中的 $A$型（正方形）、 $B$型（菱形）、 $C$型（等腰直角三角形）纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中．

（1）搅匀后从中摸出1个盒子，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是　    　；

（2）搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的2个盒子中摸出1个盒子，把摸出的2个盒中的纸片长度相等的边拼在一起，求拼成的图形是轴对称图形的概率．（不重叠无缝隙拼接）

甲、乙两人每小时共做30个零件，甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等．甲、乙两人每小时各做多少个零件？

如图，在 $▱\mathit{OABC}$中， $\mathit{OA}=2\sqrt{2}$， $\angle \mathit{AOC}=45°$，点 $C$在 $y$轴上，点 $D$是 $\mathit{BC}$的中点，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象经过点 $A$、 $D$．

（1）求 $k$的值；

（2）求点 $D$的坐标．

（阅读）

数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想．

（理解）

（1）如图1，两个直角边长分别为 $a$、 $b$、斜边长为 $c$的直角三角形和一个两条直角边都是 $c$的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；

（2）如图2， $n$行 $n$列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式： $n^2=$　                      　；

（运用）

（3） $n$边形有 $n$个顶点，在它的内部再画 $m$个点，以 $(m+n)$个点为顶点，把 $n$边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得 $y$个这样的三角形．当 $n=3$， $m=3$时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以 $y=7$．

①当 $n=4$， $m=2$时，如图4， $y=$　   　；当 $n=5$， $m=$　 　时， $y=9$；

②对于一般的情形，在 $n$边形内画 $m$个点，通过归纳猜想，可得 $y=$　　（用含 $m$、 $n$的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立．

如图，二次函数 $y=-x^2+\mathit{bx}+3$的图象与 $x$轴交于点 $A$、 $B$，与 $y$轴交于点 $C$，点 $A$的坐标为 $(-1,0)$，点 $D$为 $\mathit{OC}$的中点，点 $P$在抛物线上．

（1） $b=$　      　；

（2）若点 $P$在第一象限，过点 $P$作 $\mathit{PH}\perp x$轴，垂足为 $H$， $\mathit{PH}$与 $C$、 $\mathit{BD}$分别交于点 $M$、 $N$．是否存在这样的点 $P$，使得 $\mathit{PM}=\mathit{MN}=\mathit{NH}$？若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点 $P$的横坐标小于3，过点 $P$作 $\mathit{PQ}\perp \mathit{BD}$，垂足为 $Q$，直线 $\mathit{PQ}$与 $x$轴交于点 $R$，且 $S_{\mathit{\Delta PQB}}=2S_{\mathit{\Delta QRB}}$，求点 $P$的坐标．

已知平面图形 $S$，点 $P$、 $Q$是 $S$上任意两点，我们把线段 $\mathit{PQ}$的长度的最大值称为平面图形 $S$的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度．

（1）写出下列图形的宽距：

①半径为1的圆：　     　；

②如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“：　   　；

（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点 $A(-1,0)$、 $B(1,0)$， $C$是坐标平面内的点，连接 $\mathit{AB}$、 $\mathit{BC}$、 $\mathit{CA}$所形成的图形为 $S$，记 $S$的宽距为 $d$．

①若 $d=2$，用直尺和圆规画出点 $C$所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；

②若点 $C$在 $\odot M$上运动， $\odot M$的半径为1，圆心 $M$在过点 $(0,2)$且与 $y$轴垂直的直线上．对于 $\odot M$上任意点 $C$，都有 $5⩽d⩽8$，直接写出圆心 $M$的横坐标 $x$的取值范围．