2020年黑龙江省大庆市中考数学试卷

在 $-1$ ，0， $\pi$ ， $\sqrt{3}$ 这四个数中，最大的数是 $($ 　　 $)$

天王星围绕太阳公转的轨道半径长约为 $2900000000\mathit{km}$ ，数字2900000000用科学记数法表示为 $($ 　　 $)$

若 $|x+2|+{(y-3)}^2=0$ ，则 $x-y$ 的值为 $($ 　　 $)$

函数 $y=\sqrt{2x}$ 的自变量 $x$ 的取值范围是 $($ 　　 $)$

已知正比例函数 $y=k_{1}x$ 和反比例函数 $y=\frac{k_2}{x}$ ，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合 $k_1·k_2>0$ 的是 $($ 　　 $)$

将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与数字5所在的面相对的面上标的数字为 $($ 　　 $)$

在一次青年歌手比赛中，七位评委为某位歌手打出的分数如下：9.5，9.4，9.6，9.9，9.3，9.7，9.0（单位：分）．若去掉一个最高分和一个最低分．则去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是 $($ 　　 $)$

底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为 $1:3$ ，则圆锥与圆柱的体积的比为 $($ 　　 $)$

已知两个直角三角形的三边长分别为3，4， $m$ 和6，8， $n$ ，且这两个直角三角形不相似，则 $m+n$ 的值为 $($ 　　 $)$

如图，在边长为2的正方形 $\mathit{EFGH}$ 中， $M$ ， $N$ 分别为 $\mathit{EF}$ 与 $\mathit{GH}$ 的中点，一个三角形 $\mathit{ABC}$ 沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点 $A$ 恒在直线 $\mathit{MN}$ 上，当点 $A$ 运动到线段 $\mathit{MN}$ 的中点时，点 $E$ ， $F$ 恰与 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{AC}$ 两边的中点重合，设点 $A$ 到 $\mathit{EF}$ 的距离为 $x$ ，三角形 $\mathit{ABC}$ 与正方形 $\mathit{EFGH}$ 的公共部分的面积为 $y$ ．则当 $y=\frac{5}{2}$ 时， $x$ 的值为 $($ 　　 $)$

点$P(2,3)$关于$y$轴的对称点$Q$的坐标为　 　．

分解因式：$a^3-4a=$　         ．

一个周长为$16\mathit{cm}$的三角形，由它的三条中位线构成的三角形的周长为　 　$\mathit{cm}$．

将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若$\angle \mathit{AOD}=108°$，则$\angle \mathit{COB}=$　　．

两个人做游戏：每个人都从$-1$，0，1这三个整数中随机选择一个写在纸上，则两人所写整数的绝对值相等的概率为　　．

如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第20个图需要黑色棋子的个数为　 　．

已知关于$x$的一元二次方程：$x^2-2x-a=0$，有下列结论：

①当$a>-1$时，方程有两个不相等的实根；

②当$a>0$时，方程不可能有两个异号的实根；

③当$a>-1$时，方程的两个实根不可能都小于1；

④当$a>3$时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．

以上4个结论中，正确的个数为　　．

如图，等边$\mathit{\Delta ABC}$中，$\mathit{AB}=3$，点$D$，点$E$分别是边$\mathit{BC}$，$\mathit{CA}$上的动点，且$\mathit{BD}=\mathit{CE}$，连接$\mathit{AD}$、$\mathit{BE}$交于点$F$，当点$D$从点$B$运动到点$C$时，则点$F$的运动路径的长度为　　．

计算：$|-5|-{(1-\pi )}^0+{\left(\frac{1}{3}\right)}^{-1}$．

先化简，再求值：$(x+5)(x-1)+{(x-2)}^2$，其中$x=\sqrt{3}$．

解方程：$\frac{2x}{x-1}-1=\frac{4}{x-1}$．

如图，$\mathit{AB}$，$\mathit{CD}$为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点$M$，从建筑物$\mathit{AB}$的顶点$A$测得$M$点的俯角为$45°$，从建筑物$\mathit{CD}$的顶点$C$测得$M$点的俯角为$75°$，测得建筑物$\mathit{AB}$的顶点$A$的俯角为$30°$．若已知建筑物$\mathit{AB}$的高度为20米，求两建筑物顶点$A$、$C$之间的距离（结果精确到$1m$，参考数据：$\sqrt{2}\approx 1.414$，$\sqrt{3}\approx 1.732)$．

为了了解某校某年级1000名学生一分钟的跳绳次数，从中随机抽取了40名学生的一分钟跳绳次数（次数为整数，且最高次数不超过150次），整理后绘制成如图的频数直方图，图中的$a$，$b$满足关系式$2a=3b$．后由于保存不当，部分原始数据模糊不清，但已知缺失数据都大于120．请结合所给条件，回答下列问题．

（1）求问题中的总体和样本容量；

（2）求$a$，$b$的值（请写出必要的计算过程）；

（3）如果一分钟跳绳次数在125次以上（不含125次）为跳绳成绩优秀，那么估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多少人？（注：该年级共1000名学生）

如图，在矩形$\mathit{ABCD}$中，$O$为对角线$\mathit{AC}$的中点，过点$O$作直线分别与矩形的边$\mathit{AD}$，$\mathit{BC}$交于$M$，$N$两点，连接$\mathit{CM}$，$\mathit{AN}$．

（1）求证：四边形$\mathit{ANCM}$为平行四边形；

（2）若$\mathit{AD}=4$，$\mathit{AB}=2$，且$\mathit{MN}\perp \mathit{AC}$，求$\mathit{DM}$的长．

期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元．已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元．

（1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？

（2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的$90\%$，求至多需要购买多少个甲种笔记本？并求购买两种笔记本总费用的最大值．

如图，反比例函数$y=\frac{k}{x}$与一次函数$y=-x-(k+1)$的图象在第二象限的交点为$A$，在第四象限的交点为$C$，直线$\mathit{AO}(O$为坐标原点）与函数$y=\frac{k}{x}$的图象交于另一点$B$．过点$A$作$y$轴的平行线，过点$B$作$x$轴的平行线，两直线相交于点$E$，$\mathit{\Delta AEB}$的面积为6．

（1）求反比例函数$y=\frac{k}{x}$的表达式；

（2）求点$A$，$C$的坐标和$\mathit{\Delta AOC}$的面积．

如图，在$\mathit{\Delta ABC}$中，$\mathit{AB}=\mathit{AC}$，以$\mathit{AB}$为直径的$\odot O$交$\mathit{BC}$于点$D$，连接$\mathit{AD}$，过点$D$作$\mathit{DM}\perp \mathit{AC}$，垂足为$M$，$\mathit{AB}$、$\mathit{MD}$的延长线交于点$N$．

（1）求证：$\mathit{MN}$是$\odot O$的切线；

（2）求证：$D{N}^2=\mathit{BN}·(\mathit{BN}+\mathit{AC})$；

（3）若$\mathit{BC}=6$，$\cos C=\frac{3}{5}$，求$\mathit{DN}$的长．

证明：（1）如图，连接$\mathit{OD}$，

$\because \mathit{AB}$是直径，

$\therefore \angle \mathit{ADB}=90°$，

又$\because \mathit{AB}=\mathit{AC}$，

$\therefore \mathit{BD}=\mathit{CD}$，$\angle \mathit{BAD}=\angle \mathit{CAD}$，

$\because \mathit{AO}=\mathit{BO}$，$\mathit{BD}=\mathit{CD}$，

$\therefore \mathit{OD}//\mathit{AC}$，

$\because \mathit{DM}\perp \mathit{AC}$，

$\therefore \mathit{OD}\perp \mathit{MN}$，

又$\because \mathit{OD}$是半径，

$\therefore \mathit{MN}$是$\odot O$的切线；

（2）$\because \mathit{AB}=\mathit{AC}$，

$\therefore \angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{ACB}$，

$\because \angle \mathit{ABC}+\angle \mathit{BAD}=90°$，$\angle \mathit{ACB}+\angle \mathit{CDM}=90°$，

$\therefore \angle \mathit{BAD}=\angle \mathit{CDM}$，

$\because \angle \mathit{BDN}=\angle \mathit{CDM}$，

$\therefore \angle \mathit{BAD}=\angle \mathit{BDN}$，

又$\because \angle N=\angle N$，

$\therefore \mathit{\Delta BDN}\backsim \mathit{\Delta DAN}$，

$\therefore \frac{\mathit{BN}}{\mathit{DN}}=\frac{\mathit{DN}}{\mathit{AN}}$，

$\therefore D{N}^2=\mathit{BN}·\mathit{AN}=\mathit{BN}·(\mathit{BN}+\mathit{AB})=\mathit{BN}·(\mathit{BN}+\mathit{AC})$；

（3）$\because \mathit{BC}=6$，$\mathit{BD}=\mathit{CD}$，

$\therefore \mathit{BD}=\mathit{CD}=3$，

$\because \cos C=\frac{3}{5}=\frac{\mathit{CD}}{\mathit{AC}}$，

$\therefore \mathit{AC}=5$，

$\therefore \mathit{AB}=5$，

$\therefore \mathit{AD}=\sqrt{A{B}^2-B{D}^2}=\sqrt{25-9}=4$，

$\because \mathit{\Delta BDN}\backsim \mathit{\Delta DAN}$，

$\therefore \frac{\mathit{BN}}{\mathit{DN}}=\frac{\mathit{DN}}{\mathit{AN}}=\frac{\mathit{BD}}{\mathit{AD}}=\frac{3}{4}$，

$\therefore \mathit{BN}=\frac{3}{4}\mathit{DN}$，$\mathit{DN}=\frac{3}{4}\mathit{AN}$，

$\therefore \mathit{BN}=\frac{3}{4}\left(\frac{3}{4}\mathit{AN}\right)=\frac{9}{16}\mathit{AN}$，

$\because \mathit{BN}+\mathit{AB}=\mathit{AN}$，

$\therefore \frac{9}{16}\mathit{AN}+5=\mathit{AN}$

$\therefore \mathit{AN}=\frac{80}{7}$，

$\therefore \mathit{DN}=\frac{3}{4}\mathit{AN}=\frac{60}{7}$．

如图，抛物线$y=a{x}^2+\mathit{bx}+12$与$x$轴交于$A$，$B$两点$(B$在$A$的右侧），且经过点$C(-1,7)$和点$D(5,7)$．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）连接$\mathit{AD}$，经过点$B$的直线$l$与线段$\mathit{AD}$交于点$E$，与抛物线交于另一点$F$．连接$\mathit{CA}$，$\mathit{CE}$，$\mathit{CD}$，$\mathit{\Delta CED}$的面积与$\mathit{\Delta CAD}$的面积之比为$1:7$，点$P$为直线$l$上方抛物线上的一个动点，设点$P$的横坐标为$t$．当$t$为何值时，$\mathit{\Delta PFB}$的面积最大？并求出最大值；

（3）在抛物线$y=a{x}^2+\mathit{bx}+12$上，当$m⩽x⩽n$时，$y$的取值范围是$12⩽y⩽16$，求$m-n$的取值范围．（直接写出结果即可）