2019年湖南省长沙市中考数学试卷

下列各数中，比 $-3$ 小的数是 $($ 　　 $)$

根据《长沙市电网供电能力提升三年行动计划》，明确到2020年，长沙电网建设改造投资规模达到15000000000元，确保安全供用电需求．数据15000000000用科学记数法表示为 $($ 　　 $)$

下列计算正确的是 $($ 　　 $)$

下列事件中，是必然事件的是 $($ 　　 $)$

如图，平行线 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{CD}$ 被直线 $\mathit{AE}$ 所截， $\angle 1=80°$ ，则 $\angle 2$ 的度数是 $($ 　　 $)$

某个几何体的三视图如图所示，该几何体是 $($ 　　 $)$

在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中，11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前5名进入决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这11名同学成绩的 $($ 　　 $)$

一个扇形的半径为6，圆心角为 $120°$ ，则该扇形的面积是 $($ 　　 $)$

如图， $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle C=90°$ ， $\angle B=30°$ ，分别以点 $A$ 和点 $B$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2}\mathit{AB}$ 的长为半径作弧，两弧相交于 $M$ 、 $N$ 两点，作直线 $\mathit{MN}$ ，交 $\mathit{BC}$ 于点 $D$ ，连接 $\mathit{AD}$ ，则 $\angle \mathit{CAD}$ 的度数是 $($ 　　 $)$

如图，一艘轮船从位于灯塔 $C$ 的北偏东 $60°$ 方向，距离灯塔 $60\mathit{nmile}$ 的小岛 $A$ 出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 $C$ 的南偏东 $45°$ 方向上的 $B$ 处，这时轮船 $B$ 与小岛 $A$ 的距离是 $($ 　　 $)$

《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是："今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？"意思是：用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为 $x$ 尺，绳子长为 $y$ 尺，则所列方程组正确的是 $($ 　　 $)$

如图， $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}=10$ ， $\tan A=2$ ， $\mathit{BE}\perp \mathit{AC}$ 于点 $E$ ， $D$ 是线段 $\mathit{BE}$ 上的一个动点，则 $\mathit{CD}+\frac{\sqrt{5}}{5}\mathit{BD}$ 的最小值是 $($ 　　 $)$

式子 $\sqrt{x-5}$ 在实数范围内有意义，则实数 $x$ 的取值范围是 　　．

分解因式： $a{m}^2-9a=$ 　          　．

不等式组$\left\{\begin{array}{c}x+1⩾0\\ 3x-6<0\end{array}\right.$的解集是　       　．

在一个不透明的袋子中有若干个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：

根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是　   ．（结果保留小数点后一位）

如图，要测量池塘两岸相对的$A$，$B$两点间的距离，可以在池塘外选一点$C$，连接$\mathit{AC}$，$\mathit{BC}$，分别取$\mathit{AC}$，$\mathit{BC}$的中点$D$，$E$，测得$\mathit{DE}=50m$，则$\mathit{AB}$的长是　　$m$．

如图，函数$y=\frac{k}{x}(k$为常数，$k>0)$的图象与过原点的$O$的直线相交于$A$，$B$两点，点$M$是第一象限内双曲线上的动点（点$M$在点$A$的左侧），直线$\mathit{AM}$分别交$x$轴，$y$轴于$C$，$D$两点，连接$\mathit{BM}$分别交$x$轴，$y$轴于点$E$，$F$．现有以下四个结论：

①$\mathit{\Delta ODM}$与$\mathit{\Delta OCA}$的面积相等；②若$\mathit{BM}\perp \mathit{AM}$于点$M$，则$\angle \mathit{MBA}=30°$；③若$M$点的横坐标为1，$\mathit{\Delta OAM}$为等边三角形，则$k=2+\sqrt{3}$；④若$\mathit{MF}=\frac{2}{5}\mathit{MB}$，则$\mathit{MD}=2\mathit{MA}$．

其中正确的结论的序号是　   　．（只填序号）

计算：$|-\sqrt{2}|+{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-1}-\sqrt{6}÷\sqrt{3}-2\cos 60°$．

先化简，再求值：$(\frac{a+3}{a-1}-\frac{1}{a-1})÷\frac{a^2+4a+4}{a^2-a}$，其中$a=3$．

某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图．

（1）本次调查随机抽取了　　名学生；表中$m=$　　，$n=$　　；

（2）补全条形统计图；

（3）若全校有2000名学生，请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人．

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$ ，点 $E$ ， $F$ 分别在 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{CD}$ 上，且 $\mathit{DE}=\mathit{CF}$ ， $\mathit{AF}$ 与 $\mathit{BE}$ 相交于点 $G$ ．

（1）求证： $\mathit{BE}=\mathit{AF}$ ；

（2）若 $\mathit{AB}=4$ ， $\mathit{DE}=1$ ，求 $\mathit{AG}$ 的长．

近日，长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》，鼓励教师参与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次．

（1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；

（2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？

根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．

（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写"真"或"假" $)$ ．

①四条边成比例的两个凸四边形相似； $($ 　　命题）

②三个角分别相等的两个凸四边形相似； $($ 　　命题）

③两个大小不同的正方形相似． $($ 　　命题）

（2）如图1，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 和四边形 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中， $\angle \mathit{ABC}=\angle A_1{B}_1{C}_1$ ， $\angle \mathit{BCD}=\angle B_1{C}_1{D}_1$ ， $\frac{\mathit{AB}}{A_1{B}_1}=\frac{\mathit{BC}}{B_1{C}_1}=\frac{\mathit{CD}}{C_1{D}_1}$ ．求证：四边形 $\mathit{ABCD}$ 与四边形 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 相似．

（3）如图2，四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}//\mathit{CD}$ ， $\mathit{AC}$ 与 $\mathit{BD}$ 相交于点 $O$ ，过点 $O$ 作 $\mathit{EF}//\mathit{AB}$ 分别交 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{BC}$ 于点 $E$ ， $F$ ．记四边形 $\mathit{ABFE}$ 的面积为 $S_1$ ，四边形 $\mathit{EFCD}$ 的面积为 $S_2$ ，若四边形 $\mathit{ABFE}$ 与四边形 $\mathit{EFCD}$ 相似，求 $\frac{S_2}{S_1}$ 的值．

已知抛物线$y=-2x^2+(b-2)x+(c-2020)(b$，$c$为常数）．

（1）若抛物线的顶点坐标为$(1,1)$，求$b$，$c$的值；

（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求$c$的取值范围；

（3）在（1）的条件下，存在正实数$m$，$n(m<n)$，当$m⩽x⩽n$时，恰好$\frac{m}{2m+1}⩽\frac{1}{y+2}⩽\frac{n}{2n+1}$，求$m$，$n$的值．

如图，抛物线$y=a{x}^2+6\mathit{ax}(a$为常数，$a>0)$与$x$轴交于$O$，$A$两点，点$B$为抛物线的顶点，点$D$的坐标为$(t$，$0\left)\right(-3<t<0)$，连接$\mathit{BD}$并延长与过$O$，$A$，$B$三点的$\odot P$相交于点$C$．

（1）求点$A$的坐标；

（2）过点$C$作$\odot P$的切线$\mathit{CE}$交$x$轴于点$E$．

①如图1，求证：$\mathit{CE}=\mathit{DE}$；

②如图2，连接$\mathit{AC}$，$\mathit{BE}$，$\mathit{BO}$，当$a=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\angle \mathit{CAE}=\angle \mathit{OBE}$时，求$\frac{1}{\mathit{OD}}-\frac{1}{\mathit{OE}}$的值．