2018年山西省中考数学试卷

下面有理数比较大小， 正确的是 $($ 　　 $)$

"算经十书"是指汉唐一千多年间的十部著名数学著作，它们曾经是隋唐时期国子监算学科的教科书，这些流传下来的古算书中凝聚着历代数学家的劳动成果．下列四部著作中，不属于我国古代数学著作的是 $($ 　　 $)$

下列运算正确的是 $($ 　　 $)$

下列一元二次方程中，没有实数根的是 $($ 　　 $)$

近年来快递业发展迅速，下表是2018年 $1~3$ 月份我省部分地市邮政快递业务量的统计结果（单位：万件） $:$

$1~3$ 月份我省这七个地市邮政快递业务量的中位数是 $($ 　　 $)$

黄河是中华民族的象征，被誉为母亲河，黄河壶口瀑布位于我省吉县城西45千米处，是黄河上最具气势的自然景观．其落差约30米，年平均流量1010立方米 $/$ 秒．若以小时作时间单位，则其年平均流量可用科学记数法表示为 $($ 　　 $)$

在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球．两次都摸到黄球的概率是 $($ 　　 $)$

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ， $\angle A=60°$ ， $\mathit{AC}=6$ ，将 $\mathit{\Delta ABC}$ 绕点 $C$ 按逆时针方向旋转得到△ $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}C$ ，此时点 $A^{\text{'}}$ 恰好在 $\mathit{AB}$ 边上，则点 $B^{\text{'}}$ 与点 $B$ 之间的距离为 $($ 　　 $)$

用配方法将二次函数 $y=x^2-8x-9$ 化为 $y=a{(x-h)}^2+k$ 的形式为 $($ 　　 $)$

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$ 内接于 $\odot O$ ， $\odot O$ 的半径为2，以点 $A$ 为圆心，以 $\mathit{AC}$ 长为半径画弧交 $\mathit{AB}$ 的延长线于点 $E$ ，交 $\mathit{AD}$ 的延长线于点 $F$ ，则图中阴影部分的面积为 $($ 　　 $)$

计算：$(3\sqrt{2}+1)(3\sqrt{2}-1)=$　　．

图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则$\angle 1+\angle 2+\angle 3+\angle 4+\angle 5=$　　度．

2018年国内航空公司规定：旅客乘机时，免费携带行李箱的长，宽，高三者之和不超过$115\mathit{cm}$．某厂家生产符合该规定的行李箱．已知行李箱的宽为$20\mathit{cm}$，长与高的比为$8:11$，则符合此规定的行李箱的高的最大值为　　$\mathit{cm}$．

如图，直线$\mathit{MN}//\mathit{PQ}$，直线$\mathit{AB}$分别与$\mathit{MN}$，$\mathit{PQ}$相交于点$A$，$B$．小宇同学利用尺规按以下步骤作图：①以点$A$为圆心，以任意长为半径作弧交$\mathit{AN}$于点$C$，交$\mathit{AB}$于点$D$；②分别以$C$，$D$为圆心，以大于$\frac{1}{2}\mathit{CD}$长为半径作弧，两弧在$\angle \mathit{NAB}$内交于点$E$；③作射线$\mathit{AE}$交$\mathit{PQ}$于点$F$．若$\mathit{AB}=2$，$\angle \mathit{ABP}=60°$，则线段$\mathit{AF}$的长为　　．

如图，在$\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中，$\angle \mathit{ACB}=90°$，$\mathit{AC}=6$，$\mathit{BC}=8$，点$D$是$\mathit{AB}$的中点，以$\mathit{CD}$为直径作$\odot O$，$\odot O$分别与$\mathit{AC}$，$\mathit{BC}$交于点$E$，$F$，过点$F$作$\odot O$的切线$\mathit{FG}$，交$\mathit{AB}$于点$G$，则$\mathit{FG}$的长为　　．

计算：

（1） ${\left(2\sqrt{2}\right)}^2-|-4|+3^{-1}\times 6+2^0$ ．

（2） $\frac{x-2}{x-1}·\frac{x^2-1}{x^2-4x+4}-\frac{1}{x-2}$ ．

如图，一次函数$y_1=k_{1}x+b(k_1\ne 0)$的图象分别与$x$轴，$y$轴相交于点$A$，$B$，与反比例函数$y_2=\frac{k_2}{x}(k_2\ne 0)$的图象相交于点$C(-4,-2)$，$D(2,4)$．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）当$x$为何值时，$y_1>0$；

（3）当$x$为何值时，$y_1<y_2$，请直接写出$x$的取值范围．

在“优秀传统文化进校园”活动中，学校计划每周二下午第三节课时间开展此项活动，拟开展活动项目为：剪纸，武术，书法，器乐，要求七年级学生人人参加，并且每人只能参加其中一项活动．教务处在该校七年级学生中随机抽取了100名学生进行调查，并对此进行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整）．

请解答下列问题：

（1）请补全条形统计图和扇形统计图；

（2）在参加“剪纸”活动项目的学生中，男生所占的百分比是多少？

（3）若该校七年级学生共有500人，请估计其中参加“书法”项目活动的有多少人？

（4）学校教务处要从这些被调查的女生中，随机抽取一人了解具体情况，那么正好抽到参加“器乐”活动项目的女生的概率是多少？

祥云桥位于省城太原南部，该桥塔主体由三根曲线塔柱组合而成，全桥共设13对直线型斜拉索，造型新颖，是“三晋大地”的一种象征．某数学“综合与实践”小组的同学把“测量斜拉索顶端到桥面的距离”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间借助该桥斜拉索完成了实地测量．测量结果如下表．

（1）请帮助该小组根据上表中的测量数据，求斜拉索顶端点$C$到$\mathit{AB}$的距离（参考数据：$\sin 38°\approx 0.6$，$\cos 38°\approx 0.8$，$\tan 38°\approx 0.8$，$\sin 28°\approx 0.5$，$\cos 28°\approx 0.9$，$\tan 28°\approx 0.5)$

（2）该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目（写出一个即可）．

2018年1月20日，山西迎来了“复兴号”列车，与“和谐号”相比，“复兴号”列车时速更快，安全性更好．已知“太原南$-$北京西”全程大约500千米，“复兴号” $G92$次列车平均每小时比某列“和谐号”列车多行驶40千米，其行驶时间是该列“和谐号”列车行驶时间的$\frac{4}{5}$（两列车中途停留时间均除外）．经查询，“复兴号” $G92$次列车从太原南到北京西，中途只有石家庄一站，停留10分钟．求乘坐“复兴号” $G92$次列车从太原南到北京西需要多长时间．

请阅读下列材料，并完成相应的任务：

任务：（1）请根据上面的操作步骤及部分证明过程，判断四边形$\mathit{AXYZ}$的形状，并加以证明；

（2）请再仔细阅读上面的操作步骤，在（1）的基础上完成$\mathit{AX}=\mathit{BY}=\mathit{XY}$的证明过程；

（3）上述解决问题的过程中，通过作平行线把四边形$B{A}^{\text{'}}{Z}^{\text{'}}{Y}^{\text{'}}$放大得到四边形$\mathit{BAZY}$，从而确定了点$Z$，$Y$的位置，这里运用了下面一种图形的变化是　　．

$A$．平移             $B$．旋转            $C$．轴对称           $D$．位似

综合与实践

问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在矩形$\mathit{ABCD}$中，$\mathit{AD}=2\mathit{AB}$，$E$是$\mathit{AB}$延长线上一点，且$\mathit{BE}=\mathit{AB}$，连接$\mathit{DE}$，交$\mathit{BC}$于点$M$，以$\mathit{DE}$为一边在$\mathit{DE}$的左下方作正方形$\mathit{DEFG}$，连接$\mathit{AM}$．试判断线段$\mathit{AM}$与$\mathit{DE}$的位置关系．

探究展示：勤奋小组发现，$\mathit{AM}$垂直平分$\mathit{DE}$，并展示了如下的证明方法：

证明：$\because \mathit{BE}=\mathit{AB}$，$\therefore \mathit{AE}=2\mathit{AB}$．

$\because \mathit{AD}=2\mathit{AB}$，$\therefore \mathit{AD}=\mathit{AE}$．

$\because$四边形$\mathit{ABCD}$是矩形，$\therefore \mathit{AD}//\mathit{BC}$．

$\therefore \frac{\mathit{EM}}{\mathit{DM}}=\frac{\mathit{EB}}{\mathit{AB}}$．（依据$1)$

$\because \mathit{BE}=\mathit{AB}$，$\therefore \frac{\mathit{EM}}{\mathit{DM}}=1$．$\therefore \mathit{EM}=\mathit{DM}$．

即$\mathit{AM}$是$\mathit{\Delta ADE}$的$\mathit{DE}$边上的中线，

又$\because \mathit{AD}=\mathit{AE}$，$\therefore \mathit{AM}\perp \mathit{DE}$．（依据$2)$

$\therefore \mathit{AM}$垂直平分$\mathit{DE}$．

反思交流：

（1）①上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？

②试判断图1中的点$A$是否在线段$\mathit{GF}$的垂直平分线上，请直接回答，不必证明；

（2）创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2，连接$\mathit{CE}$，以$\mathit{CE}$为一边在$\mathit{CE}$的左下方作正方形$\mathit{CEFG}$，发现点$G$在线段$\mathit{BC}$的垂直平分线上，请你给出证明；

探索发现：

（3）如图3，连接$\mathit{CE}$，以$\mathit{CE}$为一边在$\mathit{CE}$的右上方作正方形$\mathit{CEFG}$，可以发现点$C$，点$B$都在线段$\mathit{AE}$的垂直平分线上，除此之外，请观察矩形$\mathit{ABCD}$和正方形$\mathit{CEFG}$的顶点与边，你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上，请写出一个你发现的结论，并加以证明．

综合与探究

如图，抛物线$y=\frac{1}{3}{x}^2-\frac{1}{3}x-4$与$x$轴交于$A$，$B$两点（点$A$在点$B$的左侧），与$y$轴交于点$C$，连接$\mathit{AC}$，$\mathit{BC}$．点$P$是第四象限内抛物线上的一个动点，点$P$的横坐标为$m$，过点$P$作$\mathit{PM}\perp x$轴，垂足为点$M$，$\mathit{PM}$交$\mathit{BC}$于点$Q$，过点$P$作$\mathit{PE}//\mathit{AC}$交$x$轴于点$E$，交$\mathit{BC}$于点$F$．

（1）求$A$，$B$，$C$三点的坐标；

（2）试探究在点$P$运动的过程中，是否存在这样的点$Q$，使得以$A$，$C$，$Q$为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点$Q$的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）请用含$m$的代数式表示线段$\mathit{QF}$的长，并求出$m$为何值时$\mathit{QF}$有最大值．