初中数学线段垂直平分线逆定理试题

如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

（1）概念理解：如图2，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AD}$ ， $\mathit{CB}=\mathit{CD}$ ，问四边形 $\mathit{ABCD}$ 是垂美四边形吗？请说明理由；

（2）性质探究：如图1，垂美四边形 $\mathit{ABCD}$ 的对角线 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BD}$ 交于点 $O$ ．猜想： $A{B}^2+C{D}^2$ 与 $A{D}^2+B{C}^2$ 有什么关系？并证明你的猜想．

（3）解决问题：如图3，分别以 $\text{Rt}\Delta \text{ACB}$ 的直角边 $\mathit{AC}$ 和斜边 $\mathit{AB}$ 为边向外作正方形 $\mathit{ACFG}$ 和正方形 $\mathit{ABDE}$ ，连结 $\mathit{CE}$ ， $\mathit{BG}$ ， $\mathit{GE}$ ．已知 $\mathit{AC}=4$ ， $\mathit{AB}=5$ ，求 $\mathit{GE}$ 的长．

如图所示，已知四边形 ， 都是菱形， ， 为锐角．

（1）求证： ；

（2）若 ，求 的度数．

下列命题是假命题的是 $($ 　　 $)$

A．	到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
B．	等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形
C．	$n$ 边形 $(n⩾3)$ 的内角和是 $180°n-360°$
D．	旋转不改变图形的形状和大小

综合与实践

问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在矩形中，，是延长线上一点，且，连接，交于点，以为一边在的左下方作正方形，连接．试判断线段与的位置关系．

探究展示：勤奋小组发现，垂直平分，并展示了如下的证明方法：

证明：，．

，．

四边形是矩形，．

．（依据

，．．

即是的边上的中线，

又，．（依据

垂直平分．

反思交流：

（1）①上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？

②试判断图1中的点是否在线段的垂直平分线上，请直接回答，不必证明；

（2）创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2，连接，以为一边在的左下方作正方形，发现点在线段的垂直平分线上，请你给出证明；

探索发现：

（3）如图3，连接，以为一边在的右上方作正方形，可以发现点，点都在线段的垂直平分线上，除此之外，请观察矩形和正方形的顶点与边，你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上，请写出一个你发现的结论，并加以证明．

下面是"经过已知直线外一点作这条直线的垂线"的尺规作图过程：

已知：直线 $l$ 和 $l$ 外一点 $P$ ．（如图 $1)$

求作：直线 $l$ 的垂线，使它经过点 $P$ ．

作法：如图2

（1）在直线 $l$ 上任取两点 $A$ ， $B$ ；

（2）分别以点 $A$ ， $B$ 为圆心， $\mathit{AP}$ ， $\mathit{BP}$ 长为半径作弧，两弧相交于点 $Q$ ；

（3）作直线 $\mathit{PQ}$ ．

所以直线 $\mathit{PQ}$ 就是所求的垂线．

请回答：该作图的依据是 　　．