高中数学抛物线试题

已知抛物线方程 $y^2=4x$ ， $F$ 为焦点， $P$ 为抛物线准线上一点， $Q$ 为线段 $\mathit{PF}$ 与抛物线的交点，定义： $d\left(P\right)=\frac{\left|\mathit{PF}\right|}{\left|\mathit{FQ}\right|}$ ．

（1）当 $P(-1,-\frac{8}{3})$ 时，求 $d\left(P\right)$ ；

（2）证明：存在常数 $a$ ，使得 $2d\left(P\right)=\left|\mathit{PF}\right|+a$ ；

（3） $P_1$ ， $P_2$ ， $P_3$ 为抛物线准线上三点，且 $\left|P_1{P}_2\right|=\left|P_2{P}_3\right|$ ，判断 $d\left(P_1\right)+d\left(P_3\right)$ 与 $2d\left(P_2\right)$ 的关系．

已知抛物线 $y^2=4x$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，若 $l$ 与双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的两条渐近线分别交于点 和点 ，且 $\left|\mathit{AB}\right|=4\left|\mathit{OF}\right|$ （ 为原点），则双曲线的离心率为（ ）

A．

$\sqrt{2}$

B．

$\sqrt{3}$

C．

$2$

D．

$\sqrt{5}$

设抛物线 $y^2=4x$ 的焦点为 $F$，准线为 $l$．则以 $F$为圆心，且与 $l$相切的圆的方程为__________．