初中数学相似多边形的性质解答题

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．
（1）直接用含t的代数式分别表示：QB=　_________　，PD=　_________　．
（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；
（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．

如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=2cm，AC=4cm．动点P从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B同时出发，沿BA方向以1cm/s的速度向点A运动．当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，以AP为一边向上作正方形APDE，过点Q作QF∥BC，交AC于点F．设点P的运动时间为ts，正方形和梯形重合部分的面积为Scm²．
（1）当t=　_________　s时，点P与点Q重合；
（2）当t=　_________　s时，点D在QF上；
（3）当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，求S与t之间的函数关系式．

如图所示，在形状和大小不确定的△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，P在EF或EF的延长线上，BP交CE于D，Q在CE上且BQ平分∠CBP，设BP=y，PE=x．

（1）当x=EF时，求S_△DPE：S_△DBC的值；
（2）当CQ=CE时，求y与x之间的函数关系式；
（3）①当CQ=CE时，求y与x之间的函数关系式；
②当CQ=CE（n为不小于2的常数）时，直接写出y与x之间的函数关系式．

已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP=t．

（Ⅰ）如图①，当∠BOP=30°时，求点P的坐标；
（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．

△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B．

（1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形．
（2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．
（3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的面积等于△ABC的面积的时，求线段EF的长．

如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S₁，S₂，S₃表示，则不难证明S₁=S₂+S₃．
（1）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S₁，S₂，S₃表示，那么S₁，S₂，S₃之间有什么关系；（不必证明）
（2）如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S₁、S₂、S₃表示，请你确定S₁，S₂，S₃之间的关系并加以证明；
（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S₁，S₂，S₃表示，为使S₁，S₂，S₃之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；
（4）类比（1），（2），（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．

(本题满分10分)
如图，在平面直角坐标系中，直线AB：分别与x轴、y轴交于点A、B，.

（1）求b的值.
（2）动点C从A点出发以2个单位/秒的速度沿x轴的正半轴运动，动点D从B点出发以1个单位/秒的速度沿y轴的正半轴运动.运动时间为t（t＞0），过A作x轴的垂线交直线CD于点P，过P作y轴的垂线交直线AB于点F，设线段BF的长为d(d＞0)，求d与t的函数关系式.
（3）在（2）的条件下，以点A为圆心，2为半径作⊙A，过点C作不经过第三象限的直线l与⊙A相切，切点为Q, 直线l与y轴交于点E，作QH⊥AE于H，交x轴于点G，是否存在t值，使,若存在，求出t值；若不存在，请说明理由.

在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1，将三角板的直角顶点放在点P处，三角板的两直角边分别能与AB、BC边相交于点E、F，连接EF．
（1）如图，当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合，求此时PC的长；

（2）将三角板从（1）中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E与点A重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答：

①∠PEF的大小是否发生变化？请说明理由；
②直接写出从开始到停止，线段EF的中点所经过的路线长．

以平面上一点O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB和△COD，其中∠ABO=∠DCO=30．

图1                         图2                     图3
（1）点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，连接FM、EM．
①如图1，当点D、C分别在AO、BO的延长线上时，=_______；
②如图2，将图1中的△AOB绕点O沿顺时针方向旋转角（），其他条件不变，判断的值是否发生变化，并对你的结论进行证明；
（2）如图3，若BO=，点N在线段OD上，且NO=2.点P是线段AB上的一个动点，在将△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最小值为_______，最大值为_______．

(本题12分)
如图，直线与轴、轴分别交于A、B两点，动点P从A点开始在线段AO上以每秒3个长度单位的速度向原点O运动． 动直线EF从轴开始以每秒1个长度单位的速度向上平行移动（即EF∥轴），并且分别与轴、线段AB交于E、F点．连结FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．

（1）当t＝1秒时，求梯形OPFE的面积；
（2）t为何值时，梯形OPFE的面积最大，最大面积是多少？
（3）设t的值分别取t₁、t₂时(t₁≠t₂)，所对应的三角形分别为△AF₁P₁和△AF₂P₂．试判断这两个三角形是否相似，请证明你的判断．

如图1，已知，，．是射线上的动点（点与点不重合），是线段的中点．

（1）设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；
（2）如果以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，求线段的长；
（3）连接，交线段于点，如果以为顶点的三角形与相似，求线段的长．

在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE＝∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．

（1） 当点P与点C重合时（如图①）．求证：△BOG≌△POE；
（2）通过观察、测量、猜想：=   ，并结合图②证明你的猜想；
（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图③），若∠ACB=α，求的值．（用含α的式子表示）

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，D、E分别为边AB、BC的中点，连结DE，点P从点A出发，沿折线AD－DE－EB运动，到点B停止．点P在AD上以cm/s的速度运动，在折线DE－EB上以1cm/s的速度运动．当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在线段AC上．设点P的运动时间为t(s).

（1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为______cm,（用含t的代数式表示）．
（2）当点N落在AB边上时，求t的值．
（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm²），求S与t的函数关系式．
（4）连结CD．当点N于点D重合时，有一点H从点M出发，在线段MN上以2.5cm/s的速度沿M-N-M连续做往返运动，直至点P与点E重合时，点H停止往返运动；当点P在线段EB上运动时，点H始终在线段MN的中心处．直接写出在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围．

如图，矩形中，厘米，厘米（）．动点同时从点出发，分别沿，运动，速度是厘米／秒．过作直线垂直于，分别交，于．当点到达终点时，点也随之停止运动．设运动时间为秒．
（1）若厘米，秒，则______厘米；
（2）若厘米，求时间，使，并求出它们的相似比；
（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形与梯形的面积相等，求的取值范围；
（4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形，梯形，梯形的面积都相等？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，若、的长是关于的一元二次方程的两个根，且
（1）求的值．
（2）若为轴上的点，且求经过、两点的直线的解析式，并判断与是否相似？
（3）若点在平面直角坐标系内，则在直线上是否存在点使以、、、为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．