初中数学几何体的表面积计算题

空间任意选定一点 $O$ ，以点 $O$ 为端点，作三条互相垂直的射线 $\mathit{ox}$ 、 $\mathit{oy}$ 、 $\mathit{oz}$ ．这三条互相垂直的射线分别称作 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴，统称为坐标轴，它们的方向分别为 $\mathit{ox}$ （水平向前）、 $\mathit{oy}$ （水平向右）、 $\mathit{oz}$ （竖直向上）方向，这样的坐标系称为空间直角坐标系．

将相邻三个面的面积记为 $S_1$ 、 $S_2$ 、 $S_3$ ，且 $S_1<S_2<S_3$ 的小长方体称为单位长方体，现将若干个单位长方体在空间直角坐标系内进行码放，要求码放时将单位长方体 $S_1$ 所在的面与 $x$ 轴垂直， $S_2$ 所在的面与 $y$ 轴垂直， $S_3$ 所在的面与 $z$ 轴垂直，如图1所示．

若将 $x$ 轴方向表示的量称为几何体码放的排数， $y$ 轴方向表示的量称为几何体码放的列数， $z$ 轴方向表示的量称为几何体码放的层数；如图2是由若干个单位长方体在空间直角坐标内码放的一个几何体，其中这个几何体共码放了1排2列6层，用有序数组记作 $(1$ ，2， $6)$ ，如图3的几何体码放了2排3列4层，用有序数组记作 $(2$ ，3， $4)$ ．这样我们就可用每一个有序数组 $(x$ ， $y$ ， $z)$ 表示一种几何体的码放方式．

（1）如图4是由若干个单位长方体码放的一个几何体的三视图，则这种码放方式的有序数组为 　         ，组成这个几何体的单位长方体的个数为 　        　个；

（2）对有序数组性质的理解，下列说法正确的是 　        　；（只填序号）

①每一个有序数组 $(x$ ， $y$ ， $z)$ 表示一种几何体的码放方式．

②有序数组中 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 的乘积就表示几何体中单位长方体的个数．

③有序数组不同，所表示几何体的单位长方体个数不同．

④不同的有序数组所表示的几何体的体积不同．

⑤有序数组中 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 每两个乘积的2倍可分别确定几何体表面上 $S_1$ 、 $S_2$ 、 $S_3$ 的个数．

（3）为了进一步探究有序数组 $(x$ ， $y$ ， $z)$ 的几何体的表面积公式 $S_{(x,y,z)}$ ，某同学针对若干个单位长方体进行码放，制作了下列表格：

几何体 有序数组	单位长方体的个数	表面上面积为 $S_1$ 的个数	表面上面积为 $S_2$ 的个数	表面上面积为 $S_3$ 的个数	表面积
$(1$ ，1， $1)$	1	2	2	2	$2S_1+2S_2+2S_3$
$(1$ ，2， $1)$	2	4	2	4	$4S_1+2S_2+4S_3$
$(3$ ，1， $1)$	3	2	6	6	$2S_1+6S_2+6S_3$
$(2$ ，1， $2)$	4	4	8	4	$4S_1+8S_2+4S_3$
$(1$ ，5， $1)$	5	10	2	10	$10S_1+2S_2+10S_3$
$(1$ ，2， $3)$	6	12	6	4	$12S_1+6S_2+4S_3$
$(1$ ，1， $7)$	7	14	14	2	$14S_1+14S_2+2S_3$
$(2$ ，2， $2)$	8	8	8	8	$8S_1+8S_2+8S_3$
$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$

根据以上规律，请写出有序数组 $(x$ ， $y$ ， $z)$ 的几何体表面积计算公式 $S_{(x,y,z)}$ ；（用 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 、 $S_1$ 、 $S_2$ 、 $S_3$ 表示）

（4）当 $S_1=2$ ， $S_2=3$ ， $S_3=4$ 时，对由12个单位长方体码放的几何体进行打包，为了节约外包装材料，对12个单位长方体码放的几何体表面积最小的规律进行探究，根据探究的结果请写出使几何体表面积最小的有序数组，并用几何体表面积公式求出这个最小面积．（缝隙不计）