初中数学反比例函数的图象计算题

如图，在 $▱\mathit{OABC}$中， $\mathit{OA}=2\sqrt{2}$， $\angle \mathit{AOC}=45°$，点 $C$在 $y$轴上，点 $D$是 $\mathit{BC}$的中点，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象经过点 $A$、 $D$．

（1）求 $k$的值；

（2）求点 $D$的坐标．

小明根据学习函数的经验，对函数 $y=x+\frac{1}{x}$的图象与性质进行了探究．

下面是小明的探究过程，请补充完整：

（1）函数 $y=x+\frac{1}{x}$的自变量 $x$的取值范围是　     　．

（2）下表列出了 $y$与 $x$的几组对应值，请写出 $m$， $n$的值： $m=$　    　， $n=$　    　；

$x$

$\dots$

$-3$

$-2$

$-1$

$-\frac{1}{2}$

$-\frac{1}{3}$

$\frac{1}{3}$

$\frac{1}{2}$

1

2

3

4

$\dots$

$y$

$\dots$

$-\frac{10}{3}$

$-\frac{5}{2}$

$-2$

$-\frac{5}{2}$

$-\frac{10}{3}$

$m$

$\frac{5}{2}$

2

$\frac{5}{2}$

$n$

$\frac{17}{4}$

$\dots$

（3）如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；

（4）结合函数的图象，请完成：

①当 $y=-\frac{17}{4}$时， $x=$　       　．

②写出该函数的一条性质　        　．

③若方程 $x+\frac{1}{x}=t$有两个不相等的实数根，则 $t$的取值范围是　        　．