初中数学二次根式的性质与化简填空题

观察下列各等式：

① $2\sqrt{\frac{2}{3}}=\sqrt{2+\frac{2}{3}}$；

② $3\sqrt{\frac{3}{8}}=\sqrt{3+\frac{3}{8}}$；

③ $4\sqrt{\frac{4}{15}}=\sqrt{4+\frac{4}{15}}$；

$\dots$

根据以上规律，请写出第5个等式：　　．

对于任意两个不相等的数 $a$， $b$，定义一种新运算“ $\oplus$”如下： $a\oplus b=\frac{\sqrt{a+b}}{\sqrt{a-b}}$，如： $3\oplus 2=\frac{\sqrt{3+2}}{\sqrt{3-2}}=\sqrt{5}$，那么 $12\oplus 4=$　　．

观察下列各式：

$\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}=1+\frac{1}{1\times 2}$，

$\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}=1+\frac{1}{2\times 3}$，

$\sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}=1+\frac{1}{3\times 4}$，

$\dots \dots$

请利用你所发现的规律，

计算 $\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}+\dots +\sqrt{1+\frac{1}{9^2}+\frac{1}{{10}^2}}$，其结果为　　．

计算： $-1+\sqrt{4}=$　　．

观察下列各式： $\sqrt{1+\frac{1}{3}}=2\sqrt{\frac{1}{3}},\sqrt{2+\frac{1}{4}}=3\sqrt{\frac{1}{4}},\sqrt{3+\frac{1}{5}}=4\sqrt{\frac{1}{5}}\dots$请你将发现的规律用含自然数 $n(n⩾1)$的代数式表达出来　　．

计算： $|1-\sqrt{3}|-\sqrt{12}=$　   　．

在数轴上表示实数 $a$的点如图所示，化简 $\sqrt{{(a-5)}^2}+|a-2|$的结果为　　．

已知 $a$， $b$满足等式 $a^2+6a+9+\sqrt{b-\frac{1}{3}}=0$，则 $a^{2021}{b}^{2020}=$　　．

如图，数轴上点 A表示的数为 a，化简： a+ $\sqrt{a^2-4a+4}$ ＝ 　．

能够说明“ $\sqrt{x^2}=x$不成立”的 $x$的值是　　（写出一个即可）．

把根式根号外的a移到根号内，得 _________ ．

）观察下列各式：

，

，

，

请利用你发现的规律，计算：

，

其结果为　　．

已知，当分别取1，2，3，，2020时，所对应值的总和是　　．

当 $-1<a<0$时，则 $\sqrt{{(a+\frac{1}{a})}^2-4}-\sqrt{{(a-\frac{1}{a})}^2+4}=$　　．

计算的结果是　　．