如图所示，在 $△\mathit{DEF}$中， $\mathit{EF}=10,\mathit{DF}=6,\mathit{DE}=8$，以 $\mathit{EF}$的中点 $O$为圆心，作半圆与 $\mathit{DE}$相切，点 $A,B$分别是半圆和边 $\mathit{DF}$上的动点，连接 $\mathit{AB}$，则 $\mathit{AB}$的最大值与最小值的和是（ ）

A．

$6$

B．

$2\sqrt{13}+1$

C．

$\mathrm{}\frac{32}{3}$

D．

$9$