如图，在 $△ABC$中， $CA＝CB＝4$， $\angle BAC＝\alpha$，将 $△ABC$绕点A逆时针旋转 $2\alpha$，得到 $△AB\prime C\prime$，连接 $B\prime C$并延长交 $AB$于点 $D$，当 $B\prime D\perp AB$时， $\widehat{\mathit{BB}`}$的长是（　　）

A．

$\frac{2\sqrt{3}}{3}\pi$

B．

$\frac{4\sqrt{3}}{3}\pi$

C．

$\frac{8\sqrt{3}}{9}\pi$

D．

$\frac{10\sqrt{3}}{9}\pi$