如图，已知矩形 $ABCD$的边长分别为 $a，b$，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形 $ABCD$各边的中点，得到四边形 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$；第二次，顺次连接四边形 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$各边的中点，得到四边形 $A_2{B}_2{C}_2{D}_2$；…如此反复操作下去，则第 $n$次操作后，得到四边形 $A_n{B}_n{\complement }_n{D}_n$的面积是（　　）

A．

$\frac{\mathrm{ab}}{2^{\mathrm{n}}}$

B．

$\frac{\mathrm{ab}}{2^{\mathrm{n}-1}}$

C．

$\frac{\mathrm{ab}}{2^{\mathrm{n}+1}}$

D．

$\frac{\mathrm{ab}}{2^{2\mathrm{n}}}$