如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平

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更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度中等
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挑错有奖

如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中， $Δ A B C$ 的三个顶点 $A (5, 2)$ 、 $B (5, 5)$ 、 $C (1, 1)$ 均在格点上

（ 1 ）将 $Δ A B C$ 向左平移 $5$ 个单位得到 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出点 $A_{1}$ 的坐标；

（ 2 ）画出 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ 绕点 $C_{1}$ 顺时针旋转 $90 °$ 后得到的 $Δ A_{2} B_{2} C_{1}$ ，并写出点 $A_{2}$ 的坐标；

（ 3 ）在（ 2 ）的条件下，求 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ 在旋转过程中扫过的面积（结果保留 $π$ ）．

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一只不透明的袋子中装有3个球，球上分别标有数字0，1，2，这些球除了数字外其余都相同，甲、乙两人玩摸球游戏，规则如下：先由甲随机摸出一个球（不放回），再由乙随机摸出一个球，两人摸出的球所标的数字之和为偶数时则甲胜，和为奇数时则乙胜．

（1）用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果；

（2）这样的游戏规则是否公平？请说明理由．

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最喜爱的传统文化项目类型频数分布表

项目类型	频数	频率
书法类	18	$a$
围棋类	14	0.28
喜剧类	8	0.16
国画类	$b$	0.20

根据以上信息完成下列问题：

（1）直接写出频数分布表中 $a$ 的值；

（2）补全频数分布条形图；

（3）若全校共有学生1500名，估计该校最喜爱围棋的学生大约有多少人？

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在一只不透明的袋子中装有2个白球和2个黑球，这些球除颜色外都相同．

（1）若先从袋子中拿走 $m$ 个白球，这时从袋子中随机摸出一个球是黑球的事件为“必然事件”，则 $m$ 的值为　　；

（2）若将袋子中的球搅匀后随机摸出1个球（不放回），再从袋中余下的3个球中随机摸出1个球，求两次摸到的球颜色相同的概率．

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某校对七、八、九年级的学生进行体育水平测试，成绩评定为优秀、良好、合格、不合格四个等级．为了解这次测试情况，学校从三个年级随机抽取200名学生的体育成绩进行统计分析．相关数据的统计图、表如下：

各年级学生成绩统计表
	优秀	良好	合格	不合格
七年级	$a$	20	24	8
八年级	29	13	13	5
九年级	24	$b$	14	7

根据以上信息解决下列问题：

（1）在统计表中， $a$ 的值为　　， $b$ 的值为　　；

（2）在扇形统计图中，八年级所对应的扇形圆心角为　　度；

（3）若该校三个年级共有2000名学生参加考试，试估计该校学生体育成绩不合格的人数．

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如图，直线 $l : y = - 3 x + 3$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别相交于 $A$ 、 $B$ 两点，抛物线 $y = a x^{2} - 2 ax + a + 4 (a < 0)$ 经过点 $B$ ．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）已知点 $M$ 是抛物线上的一个动点，并且点 $M$ 在第一象限内，连接 $AM$ 、 $BM$ ，设点 $M$ 的横坐标为 $m$ ， $ΔABM$ 的面积为 $S$ ，求 $S$ 与 $m$ 的函数表达式，并求出 $S$ 的最大值；

（3）在（2）的条件下，当 $S$ 取得最大值时，动点 $M$ 相应的位置记为点 $M'$ ．

①写出点 $M'$ 的坐标；

②将直线 $l$ 绕点 $A$ 按顺时针方向旋转得到直线 $l'$ ，当直线 $l'$ 与直线 $AM'$ 重合时停止旋转，在旋转过程中，直线 $l'$ 与线段 $BM'$ 交于点 $C$ ，设点 $B$ 、 $M'$ 到直线 $l'$ 的距离分别为 $d_{1}$ 、 $d_{2}$ ，当 $d_{1} + d_{2}$ 最大时，求直线 $l'$ 旋转的角度（即 $∠ BAC$ 的度数）．

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