已知实数 $a\ne 0$，设函数 $f\left(x\right)=a\mathit{ln}x+\sqrt{x+1},x>0.$

（1）当 $a=-\frac{3}{4}$时，求函数 $f\left(x\right)$的单调区间；

（2）对任意 $x\in [\frac{1}{e^2},+\infty )$均有 $f\left(x\right)\le \frac{\sqrt{x}}{2a},$ 求 $a$的取值范围.

注： $e=2.71828...$为自然对数的底数.