已知正方体ABCDA1B1C1D1,点E为A1D1中点,直线

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已知正方体 $ABCD - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ , 点 $E$ 为 $A_{1} D_{1}$ 中点, 直线 $B_{1} C_{1}$ 交平面 $CDE$ 于点 $F$ .

(1) 求证：点 $F$ 为 $B_{1} C_{1}$ 中点.

(2) 若点 $M$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 上一点, 且二面角 $M - CF - E$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ , 求 $\frac{|A_{1} M|}{|A_{1} B_{1}|}$ .

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如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，EC＝ED.

（1）证明：CD∥AB；
（2）延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．

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如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点．若CF∥AB，证明：

（1）CD＝BC；
（2）△BCD∽△GBD.

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如图，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使BD＝DC，连结AC，AE，DE.
求证：∠E＝∠C.

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如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连结DB并延长交⊙O于点E.证明：

（1）AC·BD＝AD·AB；
（2）AC＝AE.

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如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D。

（1）证明：DB=DC；
（2）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径。

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