已知正方体 $\mathit{ABCD}-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$, 点 $E$ 为 $A_1{D}_1$ 中点, 直线 $B_1{C}_1$ 交平面 $\mathit{CDE}$ 于点 $F$.

(1) 求证：点 $F$ 为 $B_1{C}_1$ 中点.

(2) 若点 $M$ 为棱 $A_1{B}_1$ 上一点, 且二面角 $M-\mathit{CF}-E$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$, 求 $\frac{\left|A_{1}M\right|}{\left|A_1{B}_1\right|}$.