已知正方体ABCDA1B1C1D1,点E为A1D1中点,直线

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已知正方体 $ABCD - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ , 点 $E$ 为 $A_{1} D_{1}$ 中点, 直线 $B_{1} C_{1}$ 交平面 $CDE$ 于点 $F$ .

(1) 求证：点 $F$ 为 $B_{1} C_{1}$ 中点.

(2) 若点 $M$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 上一点, 且二面角 $M - CF - E$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ , 求 $\frac{|A_{1} M|}{|A_{1} B_{1}|}$ .

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如图所示，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和⊙O分别相切于点L、M、N、P.

求证：AB＋CD＝AD＋BC

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(拓展深化)如图所示，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，直线XY切⊙O于点C，BD∥XY，AC、BD相交于E.

(1)求证：△ABE≌△ACD；
(2)若AB＝6 cm，BC＝4 cm，求AE的长．

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如图所示，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠C＝130°，AD是⊙O的直径，过B作⊙O的切线FE，求∠ABE的度数．

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如图，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB＝，∠D＝30°.

(1)求证：AD是⊙O的切线．
(2)若AC＝6，求AD的长．

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