设函数 $f\left(x\right)=a\cos 2x+(a-1)(\cos x+1)$，其中 $a>0$，记 $\left|f\right(x\left)\right|$的最大值为 $A$．

（Ⅰ）求 $f\text{'}\left(x\right)$；

（Ⅱ）求 $A$；

（Ⅲ）证明： $|f\text{'}(x\left)\right|⩽2A$．