解方程: x x + 1 = 2 x 3 x + 3 + 1 .
如图,矩形 OABC 的两边在坐标轴上,点 A 的坐标为 ( 10 , 0 ) ,抛物线 y = a x 2 + bx + 4 过点 B , C 两点,且与 x 轴的一个交点为 D ( - 2 , 0 ) ,点 P 是线段 CB 上的动点,设 CP = t ( 0 < t < 10 ) .
(1)请直接写出 B 、 C 两点的坐标及抛物线的解析式;
(2)过点 P 作 PE ⊥ BC ,交抛物线于点 E ,连接 BE ,当 t 为何值时, ∠ PBE = ∠ OCD ?
(3)点 Q 是 x 轴上的动点,过点 P 作 PM / / BQ ,交 CQ 于点 M ,作 PN / / CQ ,交 BQ 于点 N ,当四边形 PMQN 为正方形时,请求出 t 的值.
如图,在 ΔABC 中, ∠ ACB = 90 ° , CD 是中线, AC = BC ,一个以点 D 为顶点的 45 ° 角绕点 D 旋转,使角的两边分别与 AC 、 BC 的延长线相交,交点分别为点 E , F , DF 与 AC 交于点 M , DE 与 BC 交于点 N .
(1)如图1,若 CE = CF ,求证: DE = DF ;
(2)如图2,在 ∠ EDF 绕点 D 旋转的过程中:
①探究三条线段 AB , CE , CF 之间的数量关系,并说明理由;
②若 CE = 4 , CF = 2 ,求 DN 的长.
为了“创建文明城市,建设美丽家园”,我市某社区将辖区内的一块面积为 1000 m 2 的空地进行绿化,一部分种草,剩余部分栽花,设种草部分的面积为 x ( m 2 ) ,种草所需费用 y 1 (元)与 x ( m 2 ) 的函数关系式为 y 1 = k 1 x ( 0 ⩽ x < 600 ) k 2 x + b ( 600 ⩽ x ⩽ 1000 ) ,其图象如图所示:栽花所需费用 y 2 (元 ) 与 x ( m 2 ) 的函数关系式为 y 2 = - 0 . 01 x 2 - 20 x + 30000 ( 0 ⩽ x ⩽ 1000 ) .
(1)请直接写出 k 1 、 k 2 和 b 的值;
(2)设这块 1000 m 2 空地的绿化总费用为 W (元),请利用 W 与 x 的函数关系式,求出绿化总费用 W 的最大值;
(3)若种草部分的面积不少于 700 m 2 ,栽花部分的面积不少于 100 m 2 ,请求出绿化总费用 W 的最小值.
如图,直线 y 1 = ax + b 与双曲线 y 2 = k x 交于 A 、 B 两点,与 x 轴交于点 C ,点 A 的纵坐标为6,点 B 的坐标为 ( - 3 , - 2 ) .
(1)求直线和双曲线的解析式;
(2)求点 C 的坐标,并结合图象直接写出 y 1 < 0 时 x 的取值范围.
受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素,我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高,据统计,2014年利润为2亿元,2016年利润为2.88亿元.
(1)求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率;
(2)若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变,该企业2017年的利润能否超过3.4亿元?