一座楼梯的示意图如图所示， $\mathit{BC}$是铅垂线， $\mathit{CA}$是水平线， $\mathit{BA}$与 $\mathit{CA}$的夹角为 $\theta$．现要在楼梯上铺一条地毯，已知 $\mathit{CA}=4$米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要 $($　　 $)$

A． $\frac{4}{\sin \theta }$米 ${}^2$B． $\frac{4}{\cos \theta }$米 ${}^2$C． $(4+\frac{4}{\tan \theta })$米 ${}^2$D． $(4+4\tan \theta )$米 ${}^2$