计算：22832·cos45°．_优题课试题网

更新 2022-09-04
科目数学
题型计算题
难度中等
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计算： $- 2^{2} + \sqrt[3]{- 8} + \sqrt{2} \cdot \cos 45 °$ ．

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已知矩形 $ABCD$ 中， $AB = 5 cm$ ，点 $P$ 为对角线 $AC$ 上的一点，且 $AP = 2 \sqrt{5} cm$ ．如图①，动点 $M$ 从点 $A$ 出发，在矩形边上沿着 $A \to B \to C$ 的方向匀速运动（不包含点 $C$ ）.设动点 $M$ 的运动时间为 $t (s)$ ， $ΔAPM$ 的面积为 $S (c m^{2})$ ， $S$ 与 $t$ 的函数关系如图②所示．

（1）直接写出动点 $M$ 的运动速度为　　 $cm / s$ ， $BC$ 的长度为　　 $cm$ ；

（2）如图③，动点 $M$ 重新从点 $A$ 出发，在矩形边上按原来的速度和方向匀速运动，同时，另一个动点 $N$ 从点 $D$ 出发，在矩形边上沿着 $D \to C \to B$ 的方向匀速运动，设动点 $N$ 的运动速度为 $v (cm / s)$ ．已知两动点 $M$ ， $N$ 经过时间 $x (s)$ 在线段 $BC$ 上相遇（不包含点 $C$ ），动点 $M$ ， $N$ 相遇后立即同时停止运动，记此时 $ΔAPM$ 与 $ΔDPN$ 的面积分别为 $S_{1} (c m^{2})$ ， $S_{2} (c m^{2})$

①求动点 $N$ 运动速度 $v (cm / s)$ 的取值范围；

②试探究 $S_{1} \cdot S_{2}$ 是否存在最大值，若存在，求出 $S_{1} \cdot S_{2}$ 的最大值并确定运动时间 $x$ 的值；若不存在，请说明理由．

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如图， $A$ 为反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （其中 $x > 0)$ 图象上的一点，在 $x$ 轴正半轴上有一点 $B$ ， $OB = 4$ ．连接 $OA$ ， $AB$ ，且 $OA = AB = 2 \sqrt{10}$ ．

（1）求 $k$ 的值；

（2）过点 $B$ 作 $BC ⊥ OB$ ，交反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （其中 $x > 0)$ 的图象于点 $C$ ，连接 $OC$ 交 $AB$ 于点 $D$ ，求 $\frac{AD}{DB}$ 的值．

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先化简，再求值： $\frac{x - 3}{x^{2} + 6 x + 9} \div (1 - \frac{6}{x + 3})$ ，其中， $x = \sqrt{2} - 3$ ．

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