在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线 $y=\mathit{tx}+2t+2(t>0)$与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则 $t$的取值范围是 $($　　 $)$

A． $\frac{1}{2}⩽t<2$B． $\frac{1}{2}<t⩽1$C． $1<t⩽2$D． $\frac{1}{2}⩽t⩽2$且 $t\ne 1$