如图，在平面直角坐标系中，直线 $y=-x$与双曲线 $y=\frac{k}{x}$交于 $A$、 $B$两点， $P$是以点 $C(2,2)$为圆心，半径长1的圆上一动点，连结 $\mathit{AP}$， $Q$为 $\mathit{AP}$的中点．若线段 $\mathit{OQ}$长度的最大值为2，则 $k$的值为 $($　　 $)$

A． $-\frac{1}{2}$B． $-\frac{3}{2}$C． $-2$D． $-\frac{1}{4}$