如图，六边形 $\mathit{ABCDEF}$是正六边形，曲线 $F{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1{E}_1{F}_1\dots$叫做“正六边形的渐开线”， $\stackrel{̂}{F{A}_1}$， $\stackrel{̂}{A_1{B}_1}$， $\stackrel{̂}{B_1{C}_1}$， $\stackrel{̂}{C_1{D}_1}$， $\stackrel{̂}{D_1{E}_1}$， $\stackrel{̂}{E_1{F}_1}$， $\dots$的圆心依次按 $A$， $B$， $C$， $D$， $E$， $F$循环，且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角．当 $\mathit{AB}=1$时，曲线 $F{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1{E}_1{F}_1$的长度是　　．