当 $\frac{1}{2}⩽x⩽2$时，函数 $y=-2x+b$的图象上至少有一点在函数 $y=\frac{1}{x}$的图象下方，则 $b$的取值范围为 $($　　 $)$

A． $b>2\sqrt{2}$B． $b<\frac{9}{2}$C． $b<3$D． $2\sqrt{2}<b<\frac{9}{2}$