南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至 $B$处时，测得该岛位于正北方向 $20(1+\sqrt{3})$海里的 $C$处，为了防止某国海巡警干扰，就请求我 $A$处的渔监船前往 $C$处护航，已知 $C$位于 $A$处的北偏东 $45°$方向上， $A$位于 $B$的北偏西 $30°$的方向上，求 $A$、 $C$之间的距离．