如图，ΔABC中，∠ACB90°，D为AB上一点，以CD为直

更新 2022-09-04
科目数学
题型未知题型
难度中等
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如图， $ΔABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $D$ 为 $AB$ 上一点，以 $CD$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $BC$ 于点 $E$ ，连接 $AE$ 交 $CD$ 于点 $P$ ，交 $⊙ O$ 于点 $F$ ，连接 $DF$ ， $∠ CAE = ∠ ADF$ ．

（1）判断 $AB$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由；

（2）若 $PF : PC = 1 : 2$ ， $AF = 5$ ，求 $CP$ 的长．

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为了解某次“小学生书法比赛”的成绩情况，随机抽取了30名学生的成绩进行统计，并将统计情况绘成如图所示的频数分布直方图，已知成绩 $x$ （单位：分）均满足“ $50 ⩽ x < 100$ ”．根据图中信息回答下列问题：

（1）图中 $a$ 的值为　　；

（2）若要绘制该样本的扇形统计图，则成绩 $x$ 在“ $70 ⩽ x < 80$ ”所对应扇形的圆心角度数为　　度；

（3）此次比赛共有300名学生参加，若将“ $x ⩾ 80$ ”的成绩记为“优秀”，则获得“优秀“的学生大约有　　人：

（4）在这些抽查的样本中，小明的成绩为92分，若从成绩在“ $50 ⩽ x < 60$ ”和“ $90 ⩽ x < 100$ ”的学生中任选2人，请用列表或画树状图的方法，求小明被选中的概率．

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（1）求 $k$ 的取值范围；

（2）若 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = - 1$ ，求 $k$ 的值．

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先化简，再求值： $\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} \div (\frac{1}{x - 1} + 1)$ ，其中 $x$ 为整数且满足不等式组 $\{\begin{matrix} x - 1 > 1 \\ 8 - 2 x ⩾ 2 \end{matrix}$ ．

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如图，在四边形 $ABCD$ 中， $AB = AD = 5$ ， $BC = CD$ 且 $BC > AB$ ， $BD = 8$ ．给出以下判断：

① $AC$ 垂直平分 $BD$ ；

②四边形 $ABCD$ 的面积 $S = AC \cdot BD$ ；

③顺次连接四边形 $ABCD$ 的四边中点得到的四边形可能是正方形；

④当 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四点在同一个圆上时，该圆的半径为 $\frac{25}{6}$ ；

⑤将 $ΔABD$ 沿直线 $BD$ 对折，点 $A$ 落在点 $E$ 处，连接 $BE$ 并延长交 $CD$ 于点 $F$ ，当 $BF ⊥ CD$ 时，点 $F$ 到直线 $AB$ 的距离为 $\frac{678}{125}$ ．

其中正确的是　　．（写出所有正确判断的序号）

题型：未知
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如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，菱形 $OABC$ 的边长为2，点 $A$ 在第一象限，点 $C$ 在 $x$ 轴正半轴上， $∠ AOC = 60 °$ ，若将菱形 $OABC$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $75 °$ ，得到四边形 $OA' B' C'$ ，则点 $B$ 的对应点 $B'$ 的坐标为　　．

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