如图1，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$与 $x$轴的负半轴交于点 $A$，与 $y$轴交于点 $C(0,-3)$，顶点为 $P(-1,-4)$， $\mathit{PB}\perp x$轴于点 $B$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接 $\mathit{AC}$，在 $x$轴下方的抛物线上存在点 $N$， $\mathit{BN}$与 $\mathit{AC}$的交点 $F$平分 $\mathit{BN}$，求点 $F$的坐标；

（3）将线段 $\mathit{BP}$和 $\mathit{BA}$绕点 $B$同时顺时针旋转相同的角度，得到线段 $\mathit{BE}$， $\mathit{BD}$，直线 $\mathit{PE}$， $\mathit{AD}$相交于点 $M$．

①如图2，设 $\mathit{PE}$与 $x$轴交于点 $H$，线段 $\mathit{BE}$与 $\mathit{AD}$交于点 $G$，求 $\frac{\mathit{BG}}{\mathit{BH}}$的值；

②连接 $\mathit{OM}$， $\mathit{OM}$的长随线段 $\mathit{BP}$， $\mathit{BA}$的旋转而发生变化，请直接写出线段 $\mathit{OM}$长度的取值范围．