如图1，抛物线yax2bxc(a≠0)与x轴的负半轴交于点A

如图1，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴的负半轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $C (0, - 3)$ ，顶点为 $P (- 1, - 4)$ ， $PB ⊥ x$ 轴于点 $B$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接 $AC$ ，在 $x$ 轴下方的抛物线上存在点 $N$ ， $BN$ 与 $AC$ 的交点 $F$ 平分 $BN$ ，求点 $F$ 的坐标；

（3）将线段 $BP$ 和 $BA$ 绕点 $B$ 同时顺时针旋转相同的角度，得到线段 $BE$ ， $BD$ ，直线 $PE$ ， $AD$ 相交于点 $M$ ．

①如图2，设 $PE$ 与 $x$ 轴交于点 $H$ ，线段 $BE$ 与 $AD$ 交于点 $G$ ，求 $\frac{BG}{BH}$ 的值；

②连接 $OM$ ， $OM$ 的长随线段 $BP$ ， $BA$ 的旋转而发生变化，请直接写出线段 $OM$ 长度的取值范围．

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如图1，抛物线yax2bxc(a≠0)与x轴的负半轴交于点A

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