如图，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a>0)$图象的顶点为 $D$，其图象与 $x$轴的交点 $A$、 $B$的横坐标分别为 $-1$和3，则下列结论正确的是 $($　　 $)$

A． $2a-b=0$

B． $a+b+c>0$

C． $3a-c=0$

D．当 $a=\frac{1}{2}$时， $\mathit{\Delta ABD}$是等腰直角三角形