已知：如图ΔABC三个顶点的坐标分别为A(0,−3)、B(3

更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度中等
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已知：如图 $ΔABC$ 三个顶点的坐标分别为 $A (0, - 3)$ 、 $B (3, - 2)$ 、 $C (2, - 4)$ ，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．

（1）画出 $ΔABC$ 向上平移6个单位得到的△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

（2）以点 $C$ 为位似中心，在网格中画出△ $A_{2} B_{2} C_{2}$ ，使△ $A_{2} B_{2} C_{2}$ 与 $ΔABC$ 位似，且△ $A_{2} B_{2} C_{2}$ 与 $ΔABC$ 的位似比为 $2 : 1$ ，并直接写出点 $A_{2}$ 的坐标．

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小明在 $A$ 点测得 $C$ 点在 $A$ 点的北偏西 $75 °$ 方向，并由 $A$ 点向南偏西 $45 °$ 方向行走到达 $B$ 点测得 $C$ 点在 $B$ 点的北偏西 $45 °$ 方向，继续向正西方向行走 $2 km$ 后到达 $D$ 点，测得 $C$ 点在 $D$ 点的北偏东 $22.5 °$ 方向，求 $A$ ， $C$ 两点之间的距离．（结果保留 $0.1 km$ ．参数数据 $\sqrt{3} \approx 1.732)$

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解方程： $\frac{x}{2 x - 3} + \frac{5}{3 x - 2} = 4$ ．

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先因式分解，再计算求值： $2 x^{3} - 8 x$ ，其中 $x = 3$ ．

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下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．

小明：如图1， $(1)$ 分别在射线OA，OB上截取 $OC = OD$ ， $OE = OF ($ 点C，E不重合 $)$ ； $(2)$ 分别作线段CE，DF的垂直平分线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，交点为P，垂足分别为点G，H； $(3)$ 作射线OP，射线即为 $∠ AOB$ 的平分线．

简述理由如下：

由作图知， $∠ PGO = ∠ PHO = 90 °$ ， $OG = OH$ ， $OP = OP$ ，所以 $Rt △ PGO$ ≌ $Rt △ PHO$ ，则 $∠ POG = ∠ POH$ ，即射线OP是 $∠ AOB$ 的平分线．

小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2， $(1)$ 分别在射线OA，OB上截取 $OC = OD$ ， $OE = OF ($ 点C，E不重合 $)$ ； $(2)$ 连接DE，CF，交点为P； $(3)$ 作射线 $OP .$ 射线OP即为 $∠ AOB$ 的平分线．

$\dots \dots$

任务：

$(1)$ 小明得出 $Rt △ PGO$ ≌ $Rt △ PHO$ 的依据是______ $($ 填序号 $)$ ．

$①SSS②SAS③AAS④ASA⑤HL$

$(2)$ 小军作图得到的射线0P是 $∠ AOB$ 的平分线吗？请判断并说明理由．

$(3)$ 如图3，已知 $∠ AOB = 60 °$ ，点E，F分别在射线OA，OB上，且 $OE = OF = \sqrt{3} + 1 .$ 点C，D分别为射线OA，OB上的动点，且 $OC = OD$ ，连接DE，CF，交点为P，当 $∠ CPE = 30 °$ 时，直接写出线段OC的长．

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