如图，在▱ OABC中， A、 C两点的坐标分别为（4，0）、（﹣2，3），抛物线 W经过 O、 A、 C三点，点 D是抛物线 W的顶点．
（1）求抛物线 W的函数解析式及顶点 D的坐标；
（2）将抛物线 W和▱ OABC同时先向右平移4个单位长度，再向下平移 m（0＜ m＜3）个单位长度，得到抛物线 W 1和□ O 1 A 1 B 1 C 1，在向下平移过程中， O 1 C 1与 x轴交于点 H，▱ O 1 A 1 B 1 C 1与▱ OABC重叠部分的面积记为 S，试探究：当 m为何值时， S有最大值，并求出 S的最大值；
（3）在（2）的条件下，当 S取最大值时，设此时抛物线 W 1的顶点为 F，若点 M是 x轴上的动点，点 N是抛物线 W 1上的动点，是否存在这样的点 M、 N，使以 D、 F、 M、 N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由．
如图1和图2，在中，
，
，
．点
在
边上，点
，
分别在
，
上，且
．点
从点
出发沿折线
匀速移动，到达点
时停止；而点
在
边上随
移动，且始终保持
．
（1）当点在
上时，求点
与点
的最短距离；
（2）若点在
上，且
将
的面积分成上下
两部分时，求
的长；
（3）设点移动的路程为
，当
及
时，分别求点
到直线
的距离（用含
的式子表示）；
（4）在点处设计并安装一扫描器，按定角
扫描
区域（含边界），扫描器随点
从
到
再到
共用时36秒．若
，请直接写出点
被扫描到的总时长．
如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和5的位置上，沿数轴做移动游戏．每次移动游戏规则：裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正是反，而后根据所猜结果进行移动．
①若都对或都错，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位；
②若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位；
③若甲错乙对，则甲向西移动2个单位，同时乙向西移动4个单位．
（1）经过第一次移动游戏，求甲的位置停留在正半轴上的概率；
（2）从如图的位置开始，若完成了10次移动游戏，发现甲、乙每次所猜结果均为一对一错．设乙猜对次，且他最终停留的位置对应的数为
，试用含
的代数式表示
，并求该位置距离原点
最近时
的值；
（3）从如图的位置开始，若进行了次移动游戏后，甲与乙的位置相距2个单位，直接写出
的值．
表格中的两组对应值满足一次函数，现画出了它的图象为直线
，如图．而某同学为观察
，
对图象的影响，将上面函数中的
与
交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线
．
0 |
||
1 |
（1）求直线的解析式；
（2）请在图上画出直线（不要求列表计算），并求直线
被直线
和
轴所截线段的长；
（3）设直线与直线
，
及
轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出
的值．
用承重指数衡量水平放置的长方体木板的最大承重量．实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数
与木板厚度
（厘米）的平方成正比，当
时，
．
（1）求与
的函数关系式．
（2）如图，选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板（不计分割损耗）．设薄板的厚度为（厘米），
．
①求与
的函数关系式；
②为何值时，
是
的3倍？
注：（1）及（2）中的①不必写
的取值范围
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