如图，点$P$是双曲线$C:y=\frac{4}{x}(x>0)$上的一点，过点$P$作$x$轴的垂线交直线$\mathit{AB}:y=\frac{1}{2}x-2$于点$Q$，连结$\mathit{OP}$，$\mathit{OQ}$．当点$P$在曲线$C$上运动，且点$P$在$Q$的上方时，$\mathit{\Delta POQ}$面积的最大值是　　．