如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $E$ 为 $\mathit{AB}$ 中点，以 $\mathit{BE}$ 为边作正方形 $\mathit{BEFG}$ ，边 $\mathit{EF}$ 交 $\mathit{CD}$ 于点 $H$ ，在边 $\mathit{BE}$ 上取点 $M$ 使 $\mathit{BM}=\mathit{BC}$ ，作 $\mathit{MN}//\mathit{BG}$ 交 $\mathit{CD}$ 于点 $L$ ，交 $\mathit{FG}$ 于点 $N$ ，欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了 $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ ，现以点 $F$ 为圆心， $\mathit{FE}$ 为半径作圆弧交线段 $\mathit{DH}$ 于点 $P$ ，连结 $\mathit{EP}$ ，记 $\mathit{\Delta EPH}$ 的面积为 $S_1$ ，图中阴影部分的面积为 $S_2$ ．若点 $A$ ， $L$ ， $G$ 在同一直线上，则 $\frac{S_1}{S_2}$ 的值为 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

B．

$\frac{\sqrt{2}}{3}$

C．

$\frac{\sqrt{2}}{4}$

D．

$\frac{\sqrt{2}}{6}$