在横线上填适当的数，使等式成立．

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更新 2022-09-03
科目数学
题型填空题
难度中等
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在横线上填适当的数，使等式成立．

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对于函数 $y = x^{n} + x^{m}$ ，我们定义 $y^{'} = n x^{n - 1} + m x^{m - 1} (m$ 、 $n$ 为常数）．

例如 $y = x^{4} + x^{2}$ ，则 $y^{'} = 4 x^{3} + 2 x$ ．

已知： $y = \frac{1}{3} x^{3} + (m - 1) x^{2} + m^{2} x$ ．

（1）若方程 $y' = 0$ 有两个相等实数根，则 $m$ 的值为　　；

（2）若方程 $y' = m - \frac{1}{4}$ 有两个正数根，则 $m$ 的取值范围为　　．

题型：未知
难度：未知

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庄子说：“一尺之椎，日取其半，万世不竭”．这句话（文字语言）表达了古人将事物无限分割的思想，用图形语言表示为图1，按此图分割的方法，可得到一个等式（符号语言） $: 1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + \dots + \frac{1}{2^{n}} + \dots$ ．

图2也是一种无限分割：在 $ΔABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ，过点 $C$ 作 $C C_{1} ⊥ AB$ 于点 $C_{1}$ ，再过点 $C_{1}$ 作 $C_{1} C_{2} ⊥ BC$ 于点 $C_{2}$ ，又过点 $C_{2}$ 作 $C_{2} C_{3} ⊥ AB$ 于点 $C_{3}$ ，如此无限继续下去，则可将利 $ΔABC$ 分割成 $ΔAC C_{1}$ 、△ $C C_{1} C_{2}$ 、△ $C_{1} C_{2} C_{3}$ 、△ $C_{2} C_{3} C_{4}$ 、 $\dots$ 、△ $C_{n - 2} C_{n - 1} C_{n}$ 、 $\dots$ ．假设 $AC = 2$ ，这些三角形的面积和可以得到一个等式是　　．

题型：未知
难度：未知

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点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点 $C$ 到线段 $AB$ 所在直线的距离是　　．

题型：未知
难度：未知

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如图，直线 $a$ 、 $b$ 垂直相交于点 $O$ ，曲线 $C$ 关于点 $O$ 成中心对称，点 $A$ 的对称点是点 $A^{'}$ ， $AB ⊥ a$ 于点 $B$ ， $A^{'} D ⊥ b$ 于点 $D$ ．若 $OB = 3$ ， $OD = 2$ ，则阴影部分的面积之和为　　．

题型：未知
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二元一次方程组 $\frac{x + y}{2} = \frac{2 x - y}{3} = x + 2$ 的解是　　．

题型：未知
难度：未知

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