(·湖南益阳)已知点P是线段AB上与点A不重合的一点,且AP<PB.AP绕点A逆时针旋转角α(0°<α≤90°)得到AP1,BP绕点B顺时针也旋转角α得到BP2,连接PP1、PP2.(1)如图1,当α=90°时,求∠P1PP2的度数;(2)如图2,当点P2在AP1的延长线上时,求证:△P2P1P∽△P2PA;(3)如图3,过BP的中点E作l1⊥BP,过BP2的中点F作l2⊥BP2,l1与l2交于点Q,连接PQ,求证:P1P⊥PQ.
(本题共12分)定义:有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”.(1)已知:如图1,四边形是“等对角四边形”,,,.求,的度数.(2)在探究“等对角四边形”性质时:① 小红画了一个“等对角四边形”(如图2),其中,,此时她发现成立.请你证明此结论.② 由此小红猜想:“对于任意‘等对角四边形’,当一组邻边相等时,另一组邻边也相等”.你认为她的猜想正确吗?若正确,请证明;若不正确,请举出反例.(3)已知:在“等对角四边形”中,,,,.求对角线的长.
(本题共10分)水果批发市场有一种高档水果,如果每千克盈利(毛利润)10元,每天可售出500千克.经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销量将减少20千克. (1)若以每千克能盈利18元的单价出售,问每天的总毛利润为多少元? (2)现市场要保证每天总毛利润6000元,同时又要使顾客得到实惠,则每千克应涨价多少元? (3)现需按毛利润的10%交纳各种税费,人工费每日按销售量每千克支出0.9元,水电房租费每日102元,若剩下的每天总纯利润要达到5100元,则每千克涨价应为多少?
(本题共8分)已知关于的方程.(1)求证:方程总有两个实数根;(2)若方程的两个实数根都是整数,求正整数的值.
(本题6分)如图,已知∠AOB,OA=OB,点E在OB上,且四边形AEBF是平行四边形,请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线(保留画图痕迹,不写画法),并说明理由.
(本题8分)甲、乙两人在5次打靶测试中命中的环数如下:甲:8,8,7,8,9乙:5,9,7,10,9(1)填写下表:
(2)教练根据这5次成绩,选择甲参加射击比赛,教练的理由是什么?(3)如果乙再射击1次,命中8环,那么乙的射击成绩的方差 .(填“变大”、“变小”或“不变”).