（本题共7分）如果一个点与另外两个点能构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．例如：矩形ABCD中，点C与A、B两点可构成直角三角形ABC，则称点C为A、B两点的勾股点，同样，点D也是A、B两点的勾股点．
（1）如图1，矩形ABCD中，AB =2，BC =1，请在边CD上作出A、B两点的勾股点（点C和点D除外）．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）如图2，矩形ABCD中，若AB =3，BC =1，点P在边CD上（点C和点D除外），且点P为A、B两点的勾股点，求DP的长．
如图， 是 的直径， 是上半圆的弦，过点 作 的切线 交 的延长线于点 ，过点 作切线 的垂线，垂足为 ，且与 交于点 ，设 ， 的度数分别是 ， ．
（1）用含 的代数式表示 ，并直接写出 的取值范围；
（2）连接 与 交于点 ，当点 是 的中点时，求 ， 的值．
在一个不透明的袋子中有一个黑球 和两个白球 ， （除颜色外其他均相同）．用树状图（或列表法）解答下列问题：
（1）小丽第一次从袋子中摸出一个球不放回，第二次又从袋子中摸出一个球．则小丽两次都摸到白球的概率是多少？
（2）小强第一次从袋子中摸出一个球，摸到黑球不放回，摸到白球放回；第二次又从袋子中摸出一个球，则小强两次都摸到白球的概率是多少？
我们知道，经过原点的抛物线可以用 表示，对于这样的抛物线：
（1）当抛物线经过点 和 时，求抛物线的表达式；
（2）当抛物线的顶点在直线 上时，求 的值；
（3）如图，现有一组这样的抛物线，它们的顶点 、 、 ， 在直线 上，横坐标依次为 ， ， ， ， 为正整数，且 ，分别过每个顶点作 轴的垂线，垂足记为 、 ， ， ，以线段 为边向左作正方形 ，如果这组抛物线中的某一条经过点 ，求此时满足条件的正方形 的边长．
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