（本题6分）如图，已知△ABC中，∠ACB90°．（1）利用

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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挑错有奖

（本题6分）如图，已知△ABC中，∠ACB=90°．

（1）利用直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不要求写作法），作一个点P，使得点P到∠ACB两边的距离相等，且PA=PB；
（2）利用所学知识得到△ABP是三角形．

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【观察思考】

【规律发现】

请用含 $n$ 的式子填空：

（1）第 $n$ 个图案中“◎”的个数为＿＿＿＿＿；

（2）第1个图案中“★”的个数可表示为 $\frac{1 \times 2}{2}$ ，第 $2$ 个图案中“★”的个数可表示为 $\frac{2 \times 3}{2}$ ，第 $3$ 个图案中“★”的个数可表示为 $\frac{3 \times 4}{2}$ ，第 $4$ 个图案中“★”的个数可表示为 $\frac{4 \times 5}{2}$ ，……，第 $n$ 个图案中“★”的个数可表示为＿＿＿＿＿．

【规律应用】

（3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数 $n$ ，使得连续的正整数之和 $1 + 2 + 3 + \dots \dots + n$ 等于第 $n$ 个图案中“◎”的个数的 $2$ 倍．

题型：未知
难度：未知

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根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨 $10 %$ ，乙地降价 $5$ 元．已知销售单价调整前甲地比乙地少 $10$ 元，调整后甲地比乙地少 $1$ 元，求调整前甲、乙两地该商品的销售单价．

题型：未知
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先化简，再求值： $\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x + 1}$ ，其中 $x ＝ \sqrt{2} - 1$ ．

题型：未知
难度：未知

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综合运用

如图1，在平面直角坐标系中，正方形 $O A B C$ 的顶点 $A$ 在 $x$ 轴的正半轴上．如图2，将正方形 $O A B C$ 绕点 $O$ 逆时针旋转，旋转角为 $α （ 0 ° ＜ α ＜ 45 ° ）$ ， $A B$ 交直线 $y ＝ x$ 于点 $E$ ， $B C$ 交 $y$ 轴于点 $F$ ．

（1）当旋转角 $∠ C O F$ 为多少度时， $O E ＝ O F$ ；（直接写出结果，不要求写解答过程）

（2）若点 $A （ 4 ， 3 ）$ ，求 $F C$ 的长；

（3）如图3，对角线 $A C$ 交 $y$ 轴于点 $M$ ，交直线 $y ＝ x$ 于点 $N$ ，连接 $F N$ ．将 $△ O F N$ 与 $△ O C F$ 的面积分别记为 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ ．设 $S ＝ S_{1} ﹣ S_{2}$ ， $A N ＝ n$ ，求 $S$ 关于 $n$ 的函数表达式．

题型：未知
难度：未知

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综合探究

如图1，在矩形 $A B C D$ 中（ $A B ＞ A D$ ），对角线 $A C ， B D$ 相交于点 $O$ ，点 $A$ 关于 $B D$ 的对称点为 $A'$ ．连接 $A A'$ 交 $B D$ 于点 $E$ ，连接 $C A'$ ．

（1）求证： $A A ` ⊥ C A `$ ；

（2）以点 $O$ 为圆心， $O E$ 为半径作圆．

①如图2， $⊙ O$ 与 $C D$ 相切，求证： $A A ` = \sqrt{3} C A `$ ；

②如图3， $⊙ O$ 与 $C A'$ 相切， $A D ＝ 1$ ，求 $⊙ O$ 的面积．

题型：未知
难度：未知

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