如图，已知直线
∥
，
、
和、分别交于点
、
、
、
，点
在直线或上且不与点、、、重合．记
，
，
．
（1）若点在图（1）位置时，求证：
；
（2）若点在图（2）位置时，请直接写出
、
、
之间的关系；
（3）若点在图（3）位置时，写出、、之间的关系并给予证明．
如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点 ，连接 ，过点 作 ，垂足为 ， 、 的延长线交于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）求证： ；
（3）若 ， ，求 的长．
证明：（1）如图，连接 ，
是直径，
，
又 ，
， ，
， ，
，
，
，
又 是半径，
是 的切线；
（2） ，
，
， ，
，
，
，
又 ，
，
，
；
（3） ， ，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
．
如图，反比例函数 与一次函数 的图象在第二象限的交点为 ，在第四象限的交点为 ，直线 为坐标原点）与函数 的图象交于另一点 ．过点 作 轴的平行线，过点 作 轴的平行线，两直线相交于点 ， 的面积为6．
（1）求反比例函数 的表达式；
（2）求点 ， 的坐标和 的面积．
期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元．已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元．
（1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？
（2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的 ，求至多需要购买多少个甲种笔记本？并求购买两种笔记本总费用的最大值．
如图，在矩形 中， 为对角线 的中点，过点 作直线分别与矩形的边 ， 交于 ， 两点，连接 ， ．
（1）求证：四边形 为平行四边形；
（2）若 ， ，且 ，求 的长．
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