(本题11分)观察下列等式: ①; ②; ③; …… 回答下列问题: (1)仿照上列等式,写出第n个等式: ; (2)利用你观察到的规律,化简:; (3)计算:.
在平面直角坐标系中,直线 y = 1 2 x − 2 与 x 轴交于点 B ,与 y 轴交于点 C ,二次函数 y = 1 2 x 2 + bx + c 的图象经过 B , C 两点,且与 x 轴的负半轴交于点 A ,动点 D 在直线 BC 下方的二次函数图象上.
(1)求二次函数的表达式;
(2)如图1,连接 DC , DB ,设 ΔBCD 的面积为 S ,求 S 的最大值;
(3)如图2,过点 D 作 DM ⊥ BC 于点 M ,是否存在点 D ,使得 ΔCDM 中的某个角恰好等于 ∠ ABC 的2倍?若存在,直接写出点 D 的横坐标;若不存在,请说明理由.
如图1,以 ▱ ABCD 的较短边 CD 为一边作菱形 CDEF ,使点 F 落在边 AD 上,连接 BE ,交 AF 于点 G .
(1)猜想 BG 与 EG 的数量关系,并说明理由;
(2)延长 DE 、 BA 交于点 H ,其他条件不变:
①如图2,若 ∠ ADC = 60 ° ,求 DG BH 的值;
②如图3,若 ∠ ADC = α ( 0 ° < α < 90 ° ) ,直接写出 DG BH 的值(用含 α 的三角函数表示)
某商场销售一种商品,进价为每个20元,规定每个商品售价不低于进价,且不高于60元,经调查发现,每天的销售量 y (个 ) 与每个商品的售价 x (元 ) 满足一次函数关系,其部分数据如下所示:
每个商品的售价 x (元 )
…
30
40
50
每天的销售量 y (个 )
100
80
60
(1)求 y 与 x 之间的函数表达式;
(2)设商场每天获得的总利润为 w (元 ) ,求 w 与 x 之间的函数表达式;
(3)不考虑其他因素,当商品的售价为多少元时,商场每天获得的总利润最大,最大利润是多少?
如图,在 ΔABC 中, ∠ C = 90 ° , AE 平分 ∠ BAC 交 BC 于点 E , O 是 AB 上一点,经过 A , E 两点的 ⊙ O 交 AB 于点 D ,连接 DE ,作 ∠ DEA 的平分线 EF 交 ⊙ O 于点 F ,连接 AF .
(1)求证: BC 是 ⊙ O 的切线.
(2)若 sin ∠ EFA = 4 5 , AF = 5 2 ,求线段 AC 的长.
如图,某消防队在一居民楼前进行演习,消防员利用云梯成功救出点 B 处的求救者后,又发现点 B 正上方点 C 处还有一名求救者,在消防车上点 A 处测得点 B 和点 C 的仰角分别为 45 ° 和 65 ° ,点 A 距地面2.5米,点 B 距地面10.5米,为救出点 C 处的求救者,云梯需要继续上升的高度 BC 约为多少米?
(结果保留整数,参考数据: tan 65 ° ≈ 2 . 1 , sin 65 ° ≈ 0 . 9 , cos 65 ° ≈ 0 . 4 , 2 ≈ 1 . 4 )