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平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知抛物线 $y = x^{2} + bx + c$ 经过 $(- 1, m^{2} + 2 m + 1)$ 、 $(0, m^{2} + 2 m + 2)$ 两点，其中 $m$ 为常数．

（1）求 $b$ 的值，并用含 $m$ 的代数式表示 $c$ ；

（2）若抛物线 $y = x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴有公共点，求 $m$ 的值；

（3）设 $(a, y_{1})$ 、 $(a + 2, y_{2})$ 是抛物线 $y = x^{2} + bx + c$ 上的两点，请比较 $y_{2} - y_{1}$ 与0的大小，并说明理由．

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列方程解应用题：

某列车平均提速 $60 km / h$ ，用相同的时间，该列车提速前行驶 $200 km$ ，提速后比提速前多行驶 $100 km$ ，求提速前该列车的平均速度．

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解不等式组 $\{\begin{matrix} 5 x - 1 < 3 x + 3 \\ 3 x + 15 > x + 7 \end{matrix}$ ，并写出它的所有整数解．

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（1）计算： $| - 2 | + {(- 1)}^{2} + {(- 5)}^{0} - \sqrt{4}$ ；

（2）解方程组： $\{\begin{matrix} x + 2 y = 9, ① \\ 3 x - 2 y = - 5 \cdot ② \end{matrix}$ ．

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如图， $O$ 是 $ΔABC$ 内一点， $⊙ O$ 与 $BC$ 相交于 $F$ 、 $G$ 两点，且与 $AB$ 、 $AC$ 分别相切于点 $D$ 、 $E$ ， $DE / / BC$ ，连接 $DF$ 、 $EG$ ．

（1）求证： $AB = AC$ ．

（2）已知 $AB = 10$ ， $BC = 12$ ，求四边形 $DFGE$ 是矩形时 $⊙ O$ 的半径．

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